Dynamiska System

Ett dynamiskt system är ett deterministiskt system, alltså ett system, vars framtid är förutbestämt.

Till ett dynamiskt system hör en mängd, kallas tillståndsrummet. Tillståndsrummet är vanligtvis ett topologiskt rum och dess element kallas då punkter, och de kallas också för tillstånd. I rummet skall finnas kurvor γ, kallade orbits, med följande egenskap: Varje punkt p i tillståndsrummet skall passeras av en unik orbit, kallad γp, dvs för något T(p) skall värdet γpT(p) av funktionen γp vara = p.

Denna kurva bestämmer systemets framtida tillstånd på följande sätt:

Om tillståndet är p vid t, så är det p1 = γp t1-t+T(p) vid tiden t1
Om vi först väljer p och sedan kallar γp för γ och sedan indexerar om kurvan, så att den passerar p vid t=0, så får vi följande förenklade utsaga:
Om tillståndet är p vid t, så är det p1 = γt1-t vid t1
Vi föreställer oss gärna att variabeln t, som är avsatt längs varje orbit, representerar tiden.

Om tillståndsrummet är en mångfald M, så är varje orbit, γ, en funktion från R till M. Tillståndet p kan nu representeras med de n koordinaterna xi(p) för p. En orbit kan representeras med en funktion från R till Rn.

Det följer av definitionen, att två olika orbits inte kan utgå från samma punkt. Orbits kan då inte korsa varandra, och inte heller dela sig. Däremot kan två olika orbits löpa samman. I vissa sammanhang kräver man att ett dynamiskt system, för att få kallas så, också skall vara ett dynamiskt system i bakåtgående tid. I så fall kan orbits inte heller löpa samman.

Dynamiska system som grupp

Om vi från p har kommit till p1, så kan vi fortsätta därifrån till ett framdida tillstånd p2 med det fullständigare uttrycket ovan:

p2 = γp1 t2-t1-T(p1)
Denna centrala egenskap kan man formalisera som en gruppegenskap. Vi inför först en beteckning ΦT enligt
ΦTp = γpT-T(p)
För varje T är detta ΦT en funktion av p, även om vi inte satt ut funktionsparenterna (det brukar inte gruppteoretiker göra) och det ordnar till varje tänkbart tillstånd p, värdet på tillståndet T tidsenheter senare. Vi kan nu sammansätta denna funktion, med den som tar oss ytterligare S tidsenheter framåt i tiden. Om tillståndet är p vid tiden 0 så är det
ΦS ○ ΦTp
vid tiden T+S. Å andra sidan kan detta också beräknas som
ΦT+Sp
Alltså måste det gälla att
ΦT+Sp = ΦS ○ ΦTp
Eftersom detta skall gälla för alla p, så måste själva funktionerna vara lika, dvs.
ΦT+S = ΦS ○ ΦT
Det är också klart att
Φ0 = id
dvs den identiska funktionen (den som avbildar varje punkt p sig själv). Man kan se den näst sista ekvationen, som en ekvation för ett dynamiskt system, med ΦT som tillstånd, och ΦS som den funktion, som bestämmer dynamiken. Tillståndsrummet är här ett funktionsrum, och det oundvikliga begynnelsetillståndet ges av den andra ekvationen.

Annorlunda uttryckt så har vi ersatt ett system med ett "vanligt" tillståndsrum fyllt av orbits, med ett system vars tillståndsrum är ett funktionsrum, och med en enda orbit, som passerar id vid tiden 0.

Funktionerna ΦT tillsammans med funktionssammansättning bildar en grupp D = <ΦR,○> för

För ekvationen
ΦT+S = ΦS ○ ΦT
kan vi rita ett kommutativt diagram:

Antag nu att avbildningen från T till ΦT är inverterbar. Då visar diagrammet en isomorfism mellan gruppen D och gruppen <R,+>. I viss mening betyder detta att teorin för dynamiska system är en trivial teori. Operationen ○ ärver sina egenskaper från +. Den går att göra en grupp av, den är associativ, kommutativ etc., det måste finnas enhetselement och inverser osv.

Antag omvänt att avbildningen från T till ΦT inte är inverterbar. Då finns ett T och ett S+T sådana att ΦS+T = ΦT. Vi kan skriva vänsterledet som ΦS○ΦT och högerledet som id ○ΦT. Därav följer att ΦS = id.

Då följer också att ΦSΦR = ΦR för alla R, och det följer för alla tillstånd i det ursprungliga systemet att ΦSp = p. Det följer vidare att ΦnS = idn = id (där mellanledet betyder id applicerat på sig själv n gånger). Slutligen följer då att ΦnS+T = ΦT. Man säger att systemet är periodiskt

Ur systemets synpunkt är varje T ekvivalent med nS+T. Detta är den topologiska egenskapen hos en cirkel, S1. Vår grupp är i detta fall strukturellt ekvivalent med gruppen <S1,+>. Annars är den strukturellt ekvivalent med truppen <R,+>. Någon tredje möjlighet finns inte.

Dynamiska system och vektorfält

Varje punkt p i tillståndsrummet M passeras av en unik kurva (orbiten genom p). Om M är en differentierbar mångfald, dvs har ett tangentrum i varje punkt, så har också varje kurva, som passerar en punkt en tangentvektor. Detta gäller då också orbiten genom p. På så sätt kan vi ordna en vektor X(p) ur TpM till varje p, dvs vi kan bilda ett vektorfält.

Om M koordinatiseras av koordinatfunktioner xi, så kan TpM koordinatiseras, genom att varje vektor ges koordinaterna:

Xi = dxi(γXt)/dt
I det här fallet är kurvan γX given som orbiten γp. Om vi vänder på denna definierande ekvation för tangentvektorns koordinater, så får vi
dxi(γpt)/dt = X(p)i
Detta är en differentialekvation för det dynamiska systemet. Enligt satsen om integralkurvor har denna ekvation lösningar, som är kurvor med de egenskaper som krävs för orbits till dynamiska system (unika kurvor genom varje punkt). Förutsättningen är vissa regularitetskrav på vektorfältets variation med p. Med M som en differentierbar mångfald och med regularitetskraven hos X uppfyllda, kan man då komma från vektorfältet X tillbaka till de orbits som definierar ett dynamiskt system.

Framställningen av ett dynamiskt system med orbits eller med vektorfält är alltså under dessa förutsättningar utbytbara. Man kan representera ett dynamiskt system med ett vektorfält.

Uttrycket xi(γpt) kan vi betrakta som värdet av "den fysikaliska storheten" xi då tillståndet tänkes följa kurvan γp. Vi kan också uttrycka högerledet som en funktion av samma "storheter", genom att uttrycka X i koordinaterna xi(p) med hjälp av en funktion X', dvx X(p) = X'({ xi(p) }). X' är en annan funktion än X, men det är vanligt att man inte låtsas om detta, utan betecknar X' med X. I så fall skriver vi

dxi/dt = X({xi })
Detta är den matematiskt hanterbara formen av differentialekvationen för ett dynamiskt system.

Begreppet "tillståndsvektor"

I den sista ekvationen är variablerna xi koordinater för en mångfald.

Men de bildar också tillsammans en tupel, och tupler kan man alltid se som vektorer i ett vektorrum. Addition och multiplikation med skalär är då komponentvis addition och komponentvis multiplikation med skalär. Frågan är vad dessa operationer betyder för mångfalden. Givet två punkter p och q på M. De har var sin tupel av koordinater. Dem kan vi addera komponentvis, och det ger oss ny koordinater xi(p)+xi(q). Dessa koordinater ger oss en ny punkt, som vi kan kalla p +x q, som definierar en addition på M. Men vi har indexerat additionssymbolen + med koordinatiseringen x, för resultatet av additionen beror på koordinatiseringen. Det betyder att additionsregeln för koordinattuplerna inte ger någon särskild meningsfull operation på mångfalden M.

Vi har egentligen samma situation för det speciella fallet att mångfalden M är ett vektorrum. Det går alltid att hitta på koordinatiseringar så att operationen + blir olika för olika koordinatiseringar. Men om vi koordinatiserar vektorrum på det vanliga sättet med hjälp av basvektorer, så är det inte så. Då blir alla +x lika.

En annan sak som kan hända med operationen +x är att de tänkta koordinaterna för p +x q inte alls pekar ut någon punkt på M. Vektorrum är lineära rum, vilket betyder att varje lineärkombination av två vektorer i vektorrummet också tillhör vektorrumet. Men på en mångfald i allmänhet, finns det inte ens någon ovedersäglig definition av en "lineärkombination". Men lineariteten hos ett vektorrum, alltså slutenheten under lineära operationer, betyder att ett vektorrum måste vara obegränsat, och det måste inte en mångfald vara.

Ytterligare har mångfalder möjligheten till topologiska identiteter, som ett vektorrum saknar.

Av alla dessa skäl bör man inte betrakta tupeln x som en tillståndsvektor. I ekvationen

dxi/dt = X({xi })
är funktionen X i allmänhet olineär. Men tillståndsrummet M är också olineärt, och det är också viktigt.

Kritiska punkter och deras lokala egenskaper

En kritisk punkt p0 är en punkt där vektorfältet X är 0 dvs lika med 0-vektorn. Om tillståndet är exakt i p0 så stannar det kvar där för all framtid. I en omgivning av p0 kan vi beskriva X med en funktion

X0(p) = X(p-p0)
För X0 gäller att X0(0) = 0. En sådan funktion kan, om den är tillräckligt reguljär, lineariseras, dvs approximeras med en lineär funktion, som i sin tur kan skrivas som en matrismultiplikation med en matris J (Jacobianen):
X0(p) = X(p-p0) = J·(p-p0)
Matrisen J:s egenskaper bestämmer då fältets egenskaper i närheten av p0. I första hand tänker man sig möjligheten att diagonalisera J. I första hand är man intresserad av egenvärden och egenvektorer, medan själva diagonaliseringen innebär att man vrider systemet så att egenvärdena överensstämmer med koordinataxlarna.

Låt oss först betrakta ett 2-dimensionellt system.

Om J är symmetrisk, och egenvärdena är olika, så är egevektorerna ortogonala. Vi kan ha den situation som visas här:



I riktningarna e1 och e2 är fältet parallellt med vektorn (p - p0). Egenvärdena λ är här negativa, så att fältet pekar tillbaka mot p0. Då säger man att den kritiska punkten är attraherande. I motsatt fall är den repellerande. Om egenvärdena har olika tecken, så har man en repellerande riktning och en attraherande från samma punkt, och då säger man att man har en sadelpunkt.



Ett egenvärde kan också vara exakt 0. Man kan göra ett koordinatbyte, så att koordinataxeln x faller längs motsvarande egenvektor. I variabeln x har då F varken värde eller derivata i p0. En Taylorutveckling domineras då lokalt av andragradstermen. Det betyder att F har samma tecken på båda sidorna av p0. En möjlighet är då att man har en dipol, som är en sammansmältning av en attraherande och repellerande kritisk punkt. Orbits ser ut ungefär på följande sätt:



Se även här. Om båda egenvärdena är lika, så finns det två möjligheter. Den vanliga är att vi då har egenvektorer i alla riktningar, men en annan möjlighet är att systemet bara har en egenvektor. I fallet med egenvektorer i alla riktningar ser systemet ut som följer:



Om J är skevsymmetrisk, så har vi bara rent imaginära egenvärden. I så fall kan vi genom koordinatbyten få J på formen
0ω
-ω0
Systemet är då en oscillator med orbits som är cirklar runt p0. Genom en annan koordinatisering blir de ellipser. Den kritiska punkten kallas ett centrum.

I det allmännaste fallet (varken symmetriskt eller skevsymmetriskt J) blir egenvärdena komplexa. Då är orbits spiraler, längs vilka tillståndet rör sig ut från, eller in mot den kritiska punkten. Den kritiska punkten kallas för ett fokus.

I tex 3 dimensioner har man liknande situationer. Man kan ha en punkt som repellerande i ett plan, men attrahernade i den tredje riktningen. En sådan punkt betraktas fortfarande som en sadelpunkt. Vad gäller centra och foci, så gäller ju att för en ekvation med reella koeffecienter, så uppträder rötterna i komplexkonjugerade par. Samma sak gäller då för egenvärdena som ju är rötter till en n:e-gradsekvation sekularekvationen. Vi kan då ha centra eller foci i ett plan, men i den tredje dimensionen kan vi inte ha en komplex rot, utan bara ren attraktion eller repulsion.

Kritiska punkters globala egenskaper

Kritiska punkter kan inte placeras ut godtyckligt i tillståndsrummet, utan de är underkastade vissa kombinatoriska eller topologiska begränsningar. Henri Poincaré studerade detta, speciellt för 2-dimensionella system. Ett verktyg för detta är så kallade vindlingstal. Se mera här.

Just för dynamiska system är det lättare att förstå en speciell faktor här. Attraktorer och repellatorer måste balansera varandra. Om tillståndet kastas ut från en punkt, måste det kunna ta vägen någonstans. För ett obegränsat tillståndsrum kan tillståndet alltid försvinna ut i oändligheten, men i ett begränsat tillståndsrum måste det kunna gå till en attraherande kritisk punkt någonstans.

En orbit, som representerar att tillståndet går från en sadelpunkt till en annan kallas en heteroklinisk orbit. Men tillståndet kan också går ut i den repellerande riktningen och sedan närma sig samma sadelpunkt i dess attraherande riktning. En sådan orbit kallas för en homoklinisk orbit.

Gränscykler

En gränscykel är en periodisk orbit, alltså en orbit som återkommer till samma punkt efter en viss tid. En gränscykel är attraherande om orbits i en omgivning av gränscykeln konvergerar mot gränscykeln. Den är repellerande om orbits i omgivningen divergerar från gränscykeln. Den kan också vara attraherande för somliga orbits och repellerande för andra. Ett sådant fall är då man har en så kallad sadelgränscykel. Figuren visa en sådan sadelgränscykel. Orbits, som startar i gränscykelns plan konvergerar i planet in mot gränscykeln. Orbits som starta över eller under planet repelleras bort från planet, och därmed bort från gränscykeln.



De repellerande och attraherande riktningarna kan också ligga snett i förhållande till gränscykelns plan. Gränscykeln behöver heller inte ligga i ett plan. En gränscykel som varken är attraherande eller reppelerande kallas neutral. I någon omgivning till en sådan finns det då orbits, som varken konvergerar eller divergerar mot gränscykeln. De kan då (men måste inte) vara neutrala gränscykler.

Lineära system har bara gränscykler om de är Hamiltoninanska (energibevarande) och de är alltid neutrala. De är orbits kring en kritisk punkt i origo, som är ett centrum.

Inom mekaniken har man inte lineära system, eftersom Newtons gravitationslag:

F = G·m1·m2/r2
är olineär. Den celesta mekaniken, där himlakroppar rör sig i en i stort sett tom rymd, är också Hamoltoniansk. Även där har man då neutrala gränscykler. T.ex. är solen omgiven av en oändlig härva av neutrala orbits. Planeter asteroider och kometer har besatt ett fåtal av dessa orbits. Planetbanor och kometbanor kan korsa varandra, men det betyder inte att orbits korsar varandra, för orbits finns i tillståndsrummet och i tillståndsrummet finns inte bara positionskoordinater utan också hastighetskoordinater. Banor som möts i samma punkt har olika hastigheter i den punkten. Naturligtvis innebär ändå alla dess korsningar en risk för kollision. I själv verket tror man att planeterna har uppstått ut sådana kollisioner. När en stor asteroid infångar en liten, så blir de fångade i varandras gravitation. Banan blir en annan än båda de ursprungligas men den liknar mest den större asteroidens bana. Möjligtvis kan det vara så att asteroider som rör sig i cirkulära banor tidigt hade större sannolikhet för att kollidera med andra. De skulle därmed gynnas i sin storlekstillväxt, vilket skulle förklara varför tämligen cirkulära banor dominerar i vårt solsystem. Om det finns ett dominerande plan där merparten av asteroiderna finns, är det också en effekt som gynnar storlekstillväxtenen för asteroider, som finns i detta plan.

Poincaré-sampling

Henri Poincaré studerade gränscykler på samma sätt som kritiska punkter genom en metod som kallas Poincaré-sampling. Idén var att sätta upp en plan yta i någon punkt som passerades av gränscykeln, och studera hur orbits passerade denna yta.



Om gränscykeln är attraherande, kommer de här passagepunkterna att närma sig gränscykelns skärningspunkt med ytan på samma sätt som tillståndet närmar sig en attraherande kritisk punkt. Gränscykler förvandlas alltså till kritiska punkter. En skillnad är emellertid att vi nu har ett tidsdiskret system; tillståndet passerar bara ytan vid diskreta tidpunkter. Detta skulle visa sig få en ganska stor betydelse (ingen länk f.n.) för Poincaré själv.

Delmångfalder till tillståndsrummet

En orbit γt är självklart en delmängd av tillståndsrummet och den är en mångfald, för den koordinatiseras av tiden t. Vi kunde också skriva orbiten med vår gruppteoretiska notation som Φtp0.

En gränsmängd är ett område där tillståndet vistas vid stora t. En attraherande kritisk punkt är en gränsmängd, och den kan definieras som ett gränsvärde
p∞ = limt→∞ Φtp
där p är en punkt, varifrån tillståndet attraheras till den kritiska punkten. Men det finns gränsmängder, som inte är punktmängder. En gränscykel är ett exempel. För att då definiera gränsmängder behöver man göra en liten konstruktion. Låt I(τ) vara intervallet τ<t<∞ i variabeln t. Efter tiden τ befinner sig tillståndet i mängden
ΦI(τ)p
där vi har satt in en mängd I(τ) som argument i funktionen Φ (se här). Vi kan då se gränsmängden som ett gränsvärde
ω(p) = limτ→∞ ΦI(τ)p
Detta är den gränsmängd tillståndet hamnar i om det startar i p. Gränsvärdeskonstruktionen behöver formaliseras en smula. För att få en diskret mängd mängder ersätter vi τ med ett heltal i. Sedan inför vi en slutningsoperator för en mängd som tillfogar randen till mängden:
cl(M) = M ∪ ∂M
Då kan vi bilda gränsmängden genom en oändlig serie mängdskärningar:
ω(p) = ⋂ i=0∞ cl(ΦI(i)p)
Begreppet Inmängd bildar man som en invers till funktionen ω. Givet en gränsmängd Ω, från vilka punkter når man Ω? Svaret är
In(Ω) = ω-1(Ω) = {p |ω(p) = Ω }
Man kan göra samma sak för en godtycklig mängd L. In(L) är mängden av punkter, som leder till en gränsmängd, som finns i L.
In(L) = {p |ω(p) ⊆ L }
En inmängd (som är en delmångfald av tillståndsrummet) kallas en attraherande mångfald om dess inmängd bara är något större än den själv. Formellt betyder "något större" att man kan skjuta in en öppen mängd, U, mellan L och dess inmängd, så att
L ⊂ U ⊂ In(L)
Om L är en attraherande mångfald, så kallas In(L) också för bassängen till L.

När två bassänger möts, kallas deras gemensamma rand för en separatris. Om tillståndet befinner sig i en separatris, så kan det inte lämna separatrisen, för det kan inte välja att gå in i den ena bassängen men inte den andra. En separatris måste därför vara uppbyggd av orbits.

En attraherande mångfald kallas en attraktor om den är transitiv. Det betyder att den rymmer orbits (minst en), som fyller ut den helt och hållet. Varje öppen delmängd av attraktorn passeras av minst en orbit, som sedan passerar alla andra öppna delmängder av attraktorn. Detta är också en slags odelbarhetsegenskap, som innebär att man inte kan klippa sönder en attraktor utan att klippa av orbits. Attraktoregenskapen är trivial för t.ex. en attraherande gränscykel. En orbit som startar någonstans längs gränscykeln kan inte undgå att fylla ut gränscykeln helt och hållet. Attraktoregenskapen är icke-trivial först då attraktorn är något större än en kurva, t.ex. en yta. Då kan transitiviteten betrakta som en tolkning av begreppet "komplext system". Systemet är komplext genom att det är odelbart.

Alla dessa begrepp har motsvarigheter då vi låter tiden gå baklänges. Man talar om gränsmängder även i bakåtgående tid, men de betecknas med α(p), och är alltså det område varifrån tillståndet en gång måste ha kommit, om det nu är i p. Ett α har en utmängd, dit tillståndet kan gå från α. Det finns repellerande mångfalder och de kallas repellatorer om de är transitiva.

Det följer av definitionen att man inte kommer in i en inmängd. Man måste ha varit där hela tiden. Man kommer inte heller ut ur en utmängd. Man är där för alltid. Det betyder att om tillståndet rör sig från en gränsmängd α till en gränsmängd ω, så är den hela tiden i skärningen mellan Out(α) och In(ω), och denna skärning måste finnas.

Utmängden till en sadelpunkt i två dimensioner är en enda orbit. Inmängden till en sadelpunkt är också en enda orbit. Om vi har en homoklinisk orbit, dvs en orbit som går från sadelpunkt till samma sadelpunkt, så måste in och utmängden sammanfalla. Dvs det måste se ut så här:



Det kan inte se ut så här:



Det framgår i och för sig redan av att orbits inte får korsa varandra.

Invarianta mångfalder

En invariant mångfald, M, definieras så, att om tillståndet kommer in i M, så blir det sedan för alltid kvar i M. Man kan uttrycka detta så:

ΦI(0) ⊆M
där som tidigare I(τ) är intervallet τ < t < ∞.

Den "framtida delen" av en orbit, dvs
ΦI(0)p
är en invariant mångfald, för
ΦI(0)M = ΦI(0)○ ΦI(0)p = ΦI(0)+I(0)p = ΦI(0)p = M
Observera alltså att I(0)+I(0) = I(0); de är båda intervallet från 0 till ∞.

En gränsmängd är en invariant mångfald, eftersom den är en framtida del av en orbit.

En bassäng är en invariant mångfald, för om tillståndet skulle kunna lämna bassängen, så skulle den vara på väg mot en ny attraktor, men själva varandet i en bassäng betyder just att man skall vara på väg just mot den bassängens attraktor och inte någon annan.

På samma sätt kan tillståndet inte heller lämna en separatris, dvs gränsen mellan två bassänger, för att ge sig ut i endera bassängen. Varje sammanhängande område av separatriser är därmed en invariant mångfald.

Man kan göra sig en "syntetisk" invariant mångfald med hjälp av en så kallad Lyapunov-funktion. Det är en reellvärd funktion f av tillståndet, som konstruerats så att
df(p)/dt ≤ 0
då systemet följer sin dynamik. Mängden Mc enligt
Mc = { p | f(p) < c }
är då en invariant mångfald, för tillståndet kan inte från Mc ta sig till ett område med större c, eftersom f(p) hela tiden minskar. Om Mc består av flera åtskilda komponenter, så är var och en av dem för sig en invariant mångfald.

För ett i övrigt slutet fysikaliskt system med värmeförluster till omgivningen, fungerar den totala energin som en Lyapunov-funktion. Lyapunov själv skall ha sett sin funktion som en generalisering av totalenergin.

Begreppet invariant mångfald kan användas för riskanalys. Om Z är ett område som innebär fara, och om vi har en invariant mångfald M, som inte skär Z, så kan vi utan risk släppa iväg systemet från starttillstånd, som ligger inuti M. Stabilitetsanalys är ett exempel på detta. Då är Z ett område med stora koordinatvärden, som sträcker sig ut i oändligheten i koordinatrymden.