Tangentrum

I varje punkt kan en mångfald, M, ha ett tangentrum. Tangentrummet är mängden av alla tangenvektorer till kurvor som passerar punkten (tangenvektorer i just den punkten).

En kurva, γ, är en funktion från ett reellt tal, t, till en punkt γ_t på mångfalden. Tangentvektorn är en hastighets- vektor för den punkten.

Hastighetsvektorn är normalt en derivata, som är gränsvärdet av en differenskvot. Men på en mångfald (till skillnad från specialfallet ett vektorrum) är varken differens eller kvot definierade.

För att mäta hastigheten inför vi därför reella funktioner, f, över mångfalden. De kan åskådliggöras genom att vi ritar nivåkurvor (nivåytor etc.) för f på M. Nu kan vi sammansätta funktionern f och γ, och får då en funktion från R till R. Den kan vi derivera, och vi inför då funktionen:

φ(γ,f) = df(γ_t)/dt

Deriveringen skall utföras vid ett t, som vi utan förlust av generalitet kan låta vara 0. Vid denna tid passerar kurvan en punkt, p = γ₀ och det är i den punkten vi finner våra tangenter, och alltså vårt tangentrum.

Att två kurvor ger samma värde på φ för alla f, representerar en ekvivalensrelation som ger en indelning av alla kurvor i ekvivalensklasser. Det de olika kurvorna i en sådan klass har gemensamt, är just att de har en gemensam tangentvektor, eller hastighetsvektor. Därmed kan vi betrakta φ som en funktion av en tangentvektor, X (detta är den konventionella beteckningen för en tangentvektor), snarare än av en kurva. Vi kan skriva

φ(X,f)=df(γ_t^X)/dt

där γ^X är en representant för den ekvivalensklass av kurvor, där kurvorna har tangenten X.

Formellt identifieras nu en tangentvektor X med funktionen φ(X,f), som i det här sammanhanget kallas X(f). En tangevektor är alltså en funktion, X, från ett funktionsrum till de reella talen. De kurvor γ^X, som har denna tangentvektor skall uppfylla att:

df(γ_t)/dt = X(f)

Värdet X(f) kallas X's koordinat för funktionen f. Ett naturligt val av funktioner f, kan vara koordinatfunktionerna x_i för mångfalden. För dem inför vi beteckningen

Xⁱ = X(x_i)

De definierar tillsammans entydigt funktionen X enligt följande viktiga resonemang:

När vi beräknar funktionen φ(X,f)=df(γ_t)/dt, så måste vi i praktiken uttrycka kuvan γ:s värden med hjälp av koordinaterna för mångfalden. f:s värden måste vi också uttrycka i koordinater med hjälp av en ny funktion f'. Då har vi:

df(γ_t)/dt= df'(x₁(γ_t), x₂(γ_t),... x_n(γ_t))/dt

Detta är derivatan av en sammansatt funktion, och den kan vi utveckla med kedjregeln som.

∑_i ∂f/∂x_i· dx_i(γ_t)/dt

I varje term är den andra faktorn just Xⁱ. Men den första faktorn är en tangentvektor. För varje f får vi ett reellt tal ∂f/∂x_i. Geometriskt är tangentvektorn tangentvektorn till den kurva som uppstår, då vi håller alla koordinater stilla utom den i:te, som vi låter röra sig med enhetshastighet. Dessa derivator kallar vi för b_i

b_i = ∂f/∂x_i

De utgör basen för tangentrummet, och Xⁱ är koordinater. Vi har alltså:

X(f) = ∑ X_i·b_i

Om vi antar komponentvis addition och multiplikation för koordinaterna, så svarar detta mot följande regel för funktionerna X:

(X+Y)(f) = X(f) + Y(f)

(λX)(f) = λ·X(f)

Om vi accepterar dessa additions och multiplikationsregler för tangentvektorer, så har vi genom isomorfismen med koordinaterna bevisat att tangentrummet till en mångfald är ett vektorrum.

Detta vektorrum i punkten p på mångfalden M heter

T_pM

"Multiplikation" mellan tangentvektorer

Processen som ger en tangentvektor låter sig upprepas. Vi har definierat tangentvektorn med

X(f) = df(γ_t^X)/dt

Om vi flyttar runt kurvan γ till olika punkter p, så får X(f) olika värden. Vi kan markera detta genom beteckningen γ_t^X,p, som är en kurva som passerar punkten p vid t=0, och där har tangentvektorn X. Med den beteckningen kan vi nu skriva

X(f)(p)=df(γ_t^X,p)/dt

Här blir X en reellvärd funktion över mångfalden, som vi på nytt kan använda för att definiera en tangentvektor Y

Y·X(f) = Y(X(f)) = d²f(γ_s^{X,γ_t
^Y,p})/dt ds

Tredje ledet är kanske inte helt lättbegripligt, men det visar i alla fall att konstruktionen är en slags andraderivata. Ekvationen definierar en slags multiplikation mellan tangentvektorer, som betecknas med ·

Den här konstruktionen används för att definiera en så kallad Lie-klammer som

[X,Y] = X·Y - Y·X

Ofta kan man uttrycka Lie-klammern i andra typer av multiplikationer

Parallellitet

Med den här definitionen av tangentvektorn har man gjort sig beroende av funktionerna f, som t.ex. kan vara koordinatfunktionerna, för att få fram koordinater för tangentvektorer. Men vi kan aldrig, utom då mångfalden är ett vektorrum, vara säkra på att funktionerna har likvärdiga egenskaper i olika punkter på mångfalden. Därför kan vi aldrig avgöra, genom att studera koordinater (eller på något annat sätt heller), om tangentvektorer på olika ställen på mångfalden är lika, eller t.ex är parallella.

Hela mångfaldsteorin är en topologisk teori, som inte intresserar sig för vad som händer, om man deformerar mångfalden med en kontinuerlig deformation. Men om man gör en sådan deformation, så är det klart att tangentvektorer som är parallella, kan bli icke-parallella.

Om man emellertid inför en metrik på mångfalden, så kan man inskränka sig till sådana "deformationer" som bevarar alla avstånd konstanta. Därmed har mångfalden blivit stel, så att den inte går att deformera, utan bara att vrida och translatera. Då öppnar sig en möjlighet att uttala sig om likhet och parallellitet. En teori för affina förbindelser utnyttjar denna möjlighet.

Differentialer

Det duala rummet till tangentrummet T_pM kallas för kotangentrummet T_p^*M. Dess medlemmar kallas differentialer.

Vektorfält

En funktion, som till varje punkt, p, på en mångfald ordnar en vektor X(p) ur T_pM kallas ett vektorfält.

till innehåll