En grupp är en algebra <M,⊕> med en mängd M och en operation ⊕, som uppfyller att
Def: En Abelsk grupp eller en kommutativ grupp är en grupp där operationen är kommutativ, så att
a⊕b = b⊕a
Algebran <R,+> av de reella talen tillsammmans med vanlig addition, är en Abelsk grupp. Enhetselementet är 0. Inversen till a skrivs -a. a+-b skriver man a-b, vlket definierar subtraktion.
Algebran <R-0,·> av de reella talen
utom 0 tillsammans med vanlig multiplikation är en Abelsk
grupp.
Enhetselementet är 1. Inversen till a skrivs 1/a eller
a-1. a·1/b
skriver man a/b, vilket definierar division.
Observera att strykningen av 0 från R inte äventyrar
slutenheten. Utan noll i en multiplikation, kan resultatet
aldrig bli 0.
Algebran <F,○>, där F är ett funktionsrum (en mängd av funktioner) och ○ är funktionssammansättning kan vara en grupp. Funktionssammansättning är alltid associativ. För att funktionerna skall kunna sammansättas fritt, bör de vara avbildningar från en mängd till samma mängd. Slutenheten kräver alltså att sammansättningen av två funktioner ur F också tillhör F, och det måste kontrolleras särskilt. Dessutom måste enhetselementet, som är den identiska avbildningen ingå i F. Inversen är funktionsinvers i vanlig mening. Alla medlemmarna i F måste alltså vara inverterbara, och alla inverserna måste tillhöra F.
Låt F vara mängden av funktioner, som bevarar någon egenskap hos de objekt, som funktionen appliceras på. Slutenheten är nu automatiskt garanterad, för om f bevarar en egenskap och g bevarar en egenskap, så måste egenskapen också vara bevarad, sedan vi applicerat först f och sedan g. Den identiska avbildningen finns automatiskt med, eftersom den bevarar varje egenskap. För varje f som bevarar en egenskap, så bevaras också egenskapen då vi går tillbaka via f:s invers. f:s invers måste alltså också finnas med i F.
Funktioner som bevarar en egenskap, kallas symmetrioperationer. Tillsammans med funktionssammansättning bildar de en grupp som kallas en symmetrigrupp.