Vektorrum

Ett vektorrum är en algebra <V,+,·> med en mängd V, vars medlemmar kallas vektorer och med en vektoraddition, +, och med en multiplikation med en skalär, ·. Skalären, som man multiplicerar med, skall komma från en kropp, som kallas skalärkroppen. Vektorerna och operationerna skall ha följande egenskaper:

  1. Slutenhetet eftersom det är en algebra
  2. <V,+> skall bilda en abelsk grupp.
  3. · är en bilineär operation.
  4. 0·v=0
  5. 1·v=v
  6. λ·(μ·v)= (λ·μ)·v
I 4. är 0 i högerledet =nollvektorn, dvs enhetselementet i gruppen enligt 2.. I 6. är multiplikationen i högerledet mellan λ och μ multiplikation inom skalärkroppen, alltså "vanlig multiplikation".

Baser och koordinater

Givet n st. medlemmar bi i V, så kan man göra en ny vektor v i V som

v = Σi=1n xi·bi
Detta representerar en avbildning
F:Rn→V
Om den avbildar Rn på hela V, och om den är inverterbar, så säger man att mängden {bi} är en bas för vektorrumet, och att xi är koordinater för vektorrumet. Man säger också att V har dimensionen n.

Inverterbarheten hos F betyder att varje vektor skall får entydiga koordinater. Man kan visa att detta är uppfyllt om och endast om nollvektorn har entydiga koordinater. Nollvektorn har alltid koordinaterna (0,0,...,0). Därför gäller följande krav.

Σi=1n xi·bi=0 ⇒ xi=0 ∀i
Om detta inte vore uppfyllt, skulle man kunna lösa en av basvektorerna i de andra ur denna ekvation. Villkoret kallas därför att basvektorerna bi är lineärt oberoende.

Sats: Dimensionen hos ett vektorrum är entydigt bestämd. Den kan vara oändlig.

Sats: Det existerar minst en bas till varje vektorrum.

Detta betyder att alla vektorrum av dimensionen n är isomorfa med Rn. Därmed är också alla vektorrum av dimensionen n isomorfa med varandra.

Metrik och topologi

Längden av en vektor kan beräknas med koordinaterna som

║v║=(∑i (xi)2) 1/2
Med denna längd kan man sedan definiera en metrik som
d(a,b)=║a-b║
Med denna metrik kan man införa den vanliga topologin. Ett vektorrum är alltså ett topologiskt rum. Eftersom ett vektorrum också kan koordinatiseras, så är det en mångfald.

En mångfald är i viss mening också ett vektorrum, men vektorrummet fångar inte alla egenskaper hos en mångfald, t.ex. topologiska identiteter (i ett vektorrum är det aldrig aktuellt att betrakta två olika vektorer som topologiskt ekvivalenta). För en mångfald kan man alltid införa en addition på följande sätt: Givet två punkter, p och q, kan vi skaffa koordinatuppsättningarna xi(p) och xi(q). Dem kan vi betrakta som medlemmar i Rn och addera dem komponentvis. Från den koordinatuppsättning vi då får kan vi skaffa en motsvarande punkt, som vi kallar för p+q. Frågan är bara om detta är en meningsfull operation. Den blir beroende av koordinatiseringen, så + bör då indexeras med koordinatfunktionen x: p +x q.

Exempel

Rummet Rn

Vektoradditionen i Rn är komponentvis addition. Multiplikationen med skalär är komponentvis multiplikation med skalären.

Ekvivalensklasser av riktade sträckor

En riktad sträcka är en "pil" från en punkt till en annan. En vektor är klassen av alla riktade sträckor, som har en viss längd och en viss riktning. Additionen a+b görs på följande sätt:

Man tar en godtycklig representant ra för klassen a. Sedan tar man den enda representanten rb för b, som börjar där ra slutar. Då finns det en riktad sträcka ra+bsom går från ra:s startpunkt till rb:s slutpunkt. a+b är den klass som innehåller ra+b.

Produkten λ·v är en sträckning av v med faktorn λ

Funktionsrum

Låt F vara en mängd funktioner från R till R. Inför följande additions- och multiplikationsregler

Värdet f(x) kan betraktas som en koordinat för f för "index" x. Baserna är i så fall funktioner bx, som är 0 överallt utom i x, där de är 1. Med den här tolkningen kan additions och multiplikationsreglerna ovan betraktas som komponentvis addition och multiplikation med skalär. Funktionsrummet är oändligtdimensionellt, eftersom det finns oändligt många värden x att ange koordinater för.

Till ett vektorrum hör ett dualt rum.

Mellan vektorrum finns lineära avbildningar

till innehåll