Mångfalder

En mångfald är ett Topologiskt rum som kan koordinatiseras. Det betyder att:

1. Till varje punkt, p, kan man ordna n st entydiga koordinater x_i(p)
2. Varje uppsättning av n koordinater pekar ut en entydig punkt
3. Funktionen från punkt till koordinat-tupel och dess invers är kontinuerliga.

För t.ex. slutna ytor går det inte att uppfylla de entydighetskrav, som ställs. Då är det tillåtet att dela upp rummet i öppna delrum U^j. Eftersom öppna mängder inte innehåller sin rand, så måste de här delmängderna gå om lott, för att inte randpunkterna skall bli orepresenterade. Inom varje U^j har man sedan separata koordinatfunktioner x^j_i(p).

I de gemensamma områdena mellan ett U^j och ett U^k finns en koordinatbytesfunktion från j-koordinater till k-koordinater som ges av x^k o (x^j)^-1. Om denna koordinabytesfunktion, och dess motsvarigheter i andra gemensamma områden, minst tillhör deriverbarhetsklassen C^k, så säger man att mångfalden är en C^k-mångfald.

En Möbiuskarta över mångfalden kan man åstadkomma på följande sätt: Man går från öppna mängder, som går om lott till slutna mängder, som går kant-i-kant, genom att välja en linje genom det gemensamma området mellan varje U^j och U^k. Dessa linjer avgränsar nu ett antal simplex, som svarar mot var sin enkel Möbiuskarta. Mängden av alla sådan Möbiuskartor tillsammans med identifieringar av punkter på de gemensamma linjerna, bildar nu en Möbisukarta över hela mångfalden.

Tangentrum

I varje punkt kan en mångfald ha ett tangentrum