Topologiska rum

Ett topologiskt rum är en mängd S med en topologi.

Def: En topologi är en algoritm, som för varje delmängd M av S, svarar på frågan: Är M en öppen mängd?

En topologi är något som man hittar på, men den skall uppfylla följande krav

1. S skall vara öppen
2. Den tomma mängden skall vara öppen
3. Om U₁ och U₂ är öppna mängder så skall unionen av dem vara öppen
4. Om U är skärningen mellan ändligt många öppna mängder, så skall U vara öppen

En viktig användning av begreppet öppen mängd är att avgöra om funktioner är kontinuerliga.

En viktig typ av ett topologiskt rum är en mångfald

Den diskreta topologin

I den diskreta topologin är alla mängder öppna. En följd av detta är att alla funktioner från ett sådan topologiskt rum är kontinuerliga

Den "vanliga topologin

Den vanliga topologin bygger på en idé om en bas för topologin. Basen är en mängd av öppna mängder B_i. En mängd är öppen om den är en union av (inte nödvändigtvis ändligt många) B_i.

Baselementen är sedan klot, som genereras av en metrik. Metriken ger ett mått på avståndet mellan två punkter. Klotet B_pr karakteriseras av en punkt, p, och en radie, r. Klotet är mängden av alla punkter vars avstånd till p är strikt mindre än r. Basen för topologin är mängden av alla tänkbara sådana klot B_pr.

Kloten får inte innehålla punkter utanför rummet S. För en given punkt p finns det därför inte B_pr för r > avtåndet till randen. Eftersom medlemskap i klotet ges av en strikt-mindre-än-relation (<) så kommer därmed inte en punkt på randen med i något klot.

Detta är en ofta utmärkande egenskap hos öppna mängder i S: de innehåller inte randen till S.

Kluvna klot och topologiska identiteter

Läs om detta här