Differentialer

Kotangentrummet T_p^*M är det duala rummet till tangentrummet T_pM. Dess medlemmar kallas differentialer, och allmännare differentiella 1-former

Det är alltså rummet av lineära avbildningar λ från vektorrumet T_pM 'tillbaka' till skalärkroppen. (se vektorrum).

Differentialen av en funktion

Givet en kurva γ^X genom mångfalden, vilken har en tangentvektor X, och en funktion f på mångfalden. Då ges funktionen φ av

φ(X,f) = df(γ^X_t)/dt

För definitionen av tangentvektorer har vi tolkat den som en funktion X(f) av f:

X(f) = φ(X,f)

Nu tolkar vi den i stället som en funktion df(X) av X:

df(X) = φ(X,f)

Funktionen df kallas differentialen av f. Den är en lineär funktion från en tangentvektor till skalärkroppen (vanligtvis R), och är alltså en medlem i kotangent- rummet T_p^*M. Den mäter hur snabbt funktionen f varierar i riktningen X.

Leibniz införde begreppet differentialer som "små" förflyttningar dx och dy, och han såg vilka små ändringar df i ett funktionsvärde, som kunde uppkomma. Denna föga formella idé formaliserades sedan som en defintion av derivata som ett gränsvärde, vilket är en insats av d'Alembert. Med hjälp av derivatabegreppet har vi nu återskapat en storhet, som bär samma beteckning som Leibniz' differentialer, men de är nu funktioner över ett vektorrum, och samtidigt fullt formaliserade. Teorin för differentialer är nu snarare bättre formaliserad än teorin för derivator. Man kan t.ex. alltid göra om de så kallade differentialekvationer, som egentligen är derivataekvationer, till riktiga differentialekvationer,

Differentiella 1-former

Som vanligt kan vi som f välja koordinatfunktionerna x_i för mångfalden. I utvecklingen av tangentrumsteorin hade vi följande ekvation:

φ(X,f)= ∑_i ∂f/∂x_i· dx_i(γ_t)/dt

Nu kan vi tolka om vänsterledet som en differential df, och i högerledet kan vi tolka om de båda faktorerna i varje term i summan. Den andra termen är en differential, nämligen just dx_i(X). De är medlemmar i kotangentrummet, och kan alltså tänkas fungera som baser för kotangentrummet. Nu tänker vi oss f som givet, och då är de första faktorerna reella tal, som ju fungerar som koordinater. Vi har alltså en utveckling:

df(X) = ∑_i df_i·dx_i(X)

med

df_i = ∂f/∂x_i

Rummet av differentialer av funktioner spänns alltså upp av differentialerna dx_i. Men de differentialerna spänner upp ett rum, som är större än så. Den allmänna medlemmen i rummet har formen.

ω = ∑ω_i·dx_i(X)

ω kallas en differentiell 1-form. I den differentiella 1-formen, så varierar koordinaterna ω_i över mångfalden, och den kan göra så på ett godtyckligt sätt. Men det skulle den inte kunna om ω_i skulle genereras som partiella derivator ∂f/∂x_i av en och samma funktion.

Det är av detta skäl, som rummet av differentiella 1-former är större än rummet av differentialer.

En differentiell 1-form, som kan skrivas som differentialen av en funktion, alltså ett ω till vilket det hör ett f, så att

ω = df

kallas exakt

Differentialer och tidsderivator

Om vi tänker oss t i γ^X_t som tiden, och om vi antar att kurvan γ^X, är en kurva som tillståndet för ett dynamiskt system verkligen följer, då är df(X) tidsderivatan för "den fysikaliska storheten" f:

df(X) = df(γ^X_t)/dt = df/dt

I ett matematiskt sammanhang är det sista ledet en fri tolkning. Matematiken talar inte om 'variabler' eller 'storheter', utan bara om funktioner. En viss fysikalisk storhet definieras som en funktion f(p) av tillståndet, p, som vi eventuellt kan beskriva med koordinater.

Differentiella n-former

En differentiell n-form kan skrivas som

Ω(X₁,X₂,...,X_n)= ∑ a_{j₁j₂...j_n} ·dx_i₁ ∧ dx_i₂ ∧ ... ∧ dx_{i_n}

∧ kallas kilprodukt och presenteras under duala rum. Ω är en medlem i Λⁿ(T_pM), och uppbyggd av baserna i det rummet, som är kilprodukter av n element. Om rummets dimension, N, är större än n, så får vi bestämma oss vilka n dx_i av de N möjliga, som vi vill plocka ut, och det är detta vi gör med index j_k.

Från de duala rummen lär vi oss att

dx_j₁ ∧ dx_j₂ ∧ ... ∧ dx_{j_n}(X₁,X₂,... X_n) = det(M)

där M ges av

M_ki = dx_{j_k}(X_i)

I två dimensioner har vi t.ex.

dx₁∧ dx₂(X₁,X₂) = dx₁(X₁)·dx₂(X₂) - dx₁(X₂)·dx₂(X₁)

Differentialer av differentiella n-former

De finns en differential av differentiella n-former, som är kompatibel med differentialer av funktioner, om dessa betraktas som 0-former.

Differentialen av en n-form är en n+1-form som ges av följande:

dΩ(X₁,X₂,...,X_n, X_n+1)= ∑ da_{j₁j₂...j_n} ∧ dx_i₁ ∧ dx_i₂ ∧ ... ∧ dx_{i_n}

Vi differentierar alltså koordinatfunktionen, och för in den som en ny faktor i kilprodukten. Det betyder att den nya koordinatfunktionen blir identiskt 1, och om vi försöker differentiera den, så blir resultatet 0, därav följande:

ddΩ=0

När det gäller att differentiera koordinatfunktionen a, så kan vi ju t.ex. använda utvecklingen.

da = ∑ ∂a/∂x_i·dx_i

När vi sätter in detta i den stora kilprodukten, så kan vi få en mängd termer, där samma dx_i uppträder två gånger, och alla sådana termer försvinner. Därför blir differentialen av en differentiell-n-form ofta enklare än n-formen själv.

Integraler

En integral som

∫f(x)dx

är en integral av en differentiell form ω=f(x)·dx, och kan då skrivas

∫ω

För detta finns en viktig sats, nämligen Stokes' sats.

En volymintegral

∫f(x,y,z)·dxdydz

skall förstås som

∫f(x,y,z)·dx ∧ dy ∧ dz

men om koordinaterna dx, dy, dz är Cartesiska, så övergår detta i den föregående formen.

Om vi nu gör ett variabelbyte till (x',y',z')=A(x,y,z) med en matris A, så kan vi förlänga vår integral på följande sätt.

∫f(x,y,z) (dx ∧ dy ∧ dz/ dx' ∧ dy' ∧ dz') dx' ∧ dy' ∧ dz'

Men parentesen är nu 1/volymskalningen hos avbildningen A, dvs determinanten det(A). Vi har alltså:

∫f(x,y,z)·dx ∧ dy ∧ dz = ∫f(x,y,z)/det(A)·dx' ∧ dy' ∧ dz'

Injektionen

Om vi sätter in en bestämd vektor, som ett argument i en n-form, så får vi kvar en n-1-form. Detta är alltså i en enkel mening en motsatt process mot differentiering, som för till en n+1-form. I fallet n=2 har man en beteckning för då man sätter in en bestämd vektor som andra argument:

i_ΩX = Ω(●,X)

till innehåll