Duala rum

Till varje vektorrum, V, hör ett dualt rum, V^*, som är mängden av alla lineära avbildningar från V till skalärkroppen K.

Om det finns baser b_k i V, så finns det koordinater, och det definierar en koordinatfunktion B^k, nämligen den som bestäms av att:

B^k(v) = v_k = v:s k:te koordinat.

Koordinatfunktionerna är lineära, så de tillhör V^*. Men de är också baser för V^*. (V^* är ett rum av funktioner, så det är naturligt att baserna också är funktioner.)

Bevis: Låt L vara en medlem i V^*, och låt den verka på en vektor v, som vi sedan utvecklar i baser:

L(v) = L(∑_k v_k·b_k) = ∑_kv_k·L(b_k) = ∑_k L(b_k)·B^k(v)

I det sista uttrycket har vi utvecklat L som en summa av koordinatfunktionerna B^k.#

Koordinaterna, som vi väljer att kalla v^*_k ges alltså av

v^*_k = L(b_k)

Duala rum och inre produkter

Givet en inre produkt B, så kan man till varje u ordna en medlem i V^* kallad u^*, nämligen den som gör avbildningen:

u^*(v) = B(u,v)

Sats: B(u,v) kan skrivas som u^TAv, där A är en matris. Om A är inverterbar, så spänner U upp V^*, dvs varje medlem av V^* kan genereras som u^* för något u.

Bevis: u^*(v) = u^* (∑v_kk_k) = B(∑u_jb_j,∑v_kb_k) = ∑_ji u_jv_k B(b_j,b_k) = ∑_kj B(b_j,b_k)u_j B^k(v)

Men B(b_j,b_k) är matriselementet A_jk. Den medlem i V^* som har koordinaterna v^*_k ges då som u^* för det u som har koordinaterna

u = A^-1v^*

n-Duala rum

En generalisering av begreppet duala rum är att gå från lineära funktioner av en vektor till multilineära funktioner av flera vektorer:

M(v₁,v₂,...,v_n)

Vi kan hitta baser i ett sådant rum, på samma sätt som vi gjorde för duala rum. Låt oss skriva det för bilineära funktioner. Låt oss anta att båda argumenten i M kommer från samma rum V med samma basvektorer.

M(u,v)=M(∑_k u_k·b_k, ∑_j v_j·b_k) = ∑_k,j u_k·v_j· M(b_k,b_j) = ∑_k,j M(b_k,b_j) ·B^k(u)·B^j(v)

Nu har vi skrivit M som en lineär funktion av n² stycken basfunktioner:

B^k()·B^j( )

Skevsymmetriska n-rum

Många intressanta n-duala rum innehåller bara skevsymmetriska funktioner. Vi börjar med det bilineära fallet, och återkommer till högre dimensioner längre fram. En skevsymmetrisk bilineär funktioner utmärks av att

M(u,u)=0

Om vi ersätter u med en summa x+y, och utnyttjar bilineariteten, så ser vi att:

M(x+y,x+y) = M(x,x) + M(x,y) + M(y,x) + M(y,y) = 0

Härav följer, eftersom M(x,x)=M(y,y)=0, att

M(x,y) = -M(y,x) (antikommutativ)

vilket är en karakteristisk egenskap för skevsymmetriska funktioner. Låt nu Λ²(V) vara rummet av skevsymmetriska multilineära funktioner från V×V till skalärkroppen K. Eftersom det är ett rum av multilineära funktioner, så kan det utvecklas i basfunktionerna:

B^k(u)·B^j(v)

Problemet är bara att de här funktionerna inte är skevsymmetriska. De tillhör alltså inte rummet Λ²(V). Vi skulle alltså utveckla medlemmarna i ett rum i funktioner, som inte själva är medlemmar i rummet. Men om vi betänker att koordinaterna nu är kopplade, så att

M(b_k,b_j) = -M(b_j,b_k)

så ser vi att vi i utvecklingen i basfunktioner, överallt har par:

M(b_k,b_j)·B^k(u)B^j(v) + M(b_j,b_k)·B^j(u)B^k(v) = M(b_k,b_j)· (B^k(u)B^j(v) - B^j(u)B^k(v))

Kilprodukten

Vi ser att vi har en utveckling i basfunktioner:

(B^k(u)B^j(v) - B^j(u)B^k(v))

som är skevsymmetriska, och alltså tillhör rummet. För uttrycket finns en speciell symbol - kilprodukten ∧, som är en multilineär operation, vars resultat automatiskt blir skevsymmetriskt.

a∧b(u,v) = a(u)·b(v) − a(v)·b(u)

Högre dimensioner

I högre dimension än 2, kan vi gå tillbaka till en diskussion om skevsymmetriska multilineära funktioner och rummet Λⁿ(V).

En multilineär skevsymmetrisk funktion av n variabler, är en funktion M(v₁,v₂,..., v_n), som tar sina värden i skalärkroppen, och sådan att den blir 0 så snart två av argumenten blir lika. Därav följer också att M byter tecken, så snart två argument byter plats.

I en utveckling av en funktion av basfunktioner, kommer då ett antal termer att få samma koeffecienter, så att vi får basfunktioner, som blir summor av produkter av koordinatfunktionerna. Varje sådan summa svarar mot ett utdrag av n stycken koordinat-nummer, som är alla är olika. Vi har lika många termer i summan, som det finns sätt att kasta om faktorer i produkten. Om vi låter en startterm ha plustecken, så kommer de termer att ha ett minustecken, som vi kan nå genom att kasta om faktorer från starttermen ett udda antal gånger. Om t.ex dimensionen i V = 5, så är i en term i Λ³(V) följande:

M(b₁,b₃,b₅)·

(B¹(u)B³(v)B⁵(w)

-B³(u)B¹(v)B⁵(w)

+B³(u)B⁵(v)B¹(w)

-B⁵(u)B³(v)B¹(w)

+B⁵(u)B¹(v)B³(w)

-B¹(u)B⁵(v)B³(w))

Uttrycket inom parentes kallas kilprodukten

B¹∧ B³∧ B⁵(u,v,w)

Antalet termer blir bestämt av relationen mellan dim V (dimensionen hos V) och n i Λⁿ (V). Om dim V = n, så får vi bara en term. Det finns bara ett utdrag av olika koeeficienter att göra. Om dim V < n, så kan vi inte göra något utdrag alls av n olika termer, så då får vi 0 termer. Det finns då bara en medlem av rummet Λⁿ(V) och det är funktionern 0 (den som av bildar alla n tuplar av vektorer på 0). Uttrycket ovan känner man igen som determinanten för en matris, och sättet att bilda uttrycket överensstämmer med den formella definitionen av determinanten. Vi väljer ett utdrag av koeefecienter, som vi betecknar med en funktion k_i, där k_i=det i:te elementet i utdraget. Sedan bildar vi en matris med elementen

A_ij=B^k_i(v_j)

och då får vi en term

M(b_k₁,b_k₂,..., b_{k_n})· det(A)

Exempel

Volymberäkning

3 vektorer spänner upp en tredimensionell figur (parallellepiped) i rymden. Volymen av denna figur är multilineär i vardera vektorn. Den är också skevsymmetrisk. Då två av vektorerna sammanfaller, utartar figuren till en platt figur utan volym. Vi definierar volymskalningen genom att införa en bas i rummet, sedan tilldela den figur som spänns upp av baselementen en basvolym V_bas. Om vi nu har tre vektorer, där den i:te, v_i,har koordinaterna xⁱ_j, så blir volymen:

V_bas·det(x)

Ofta tänker man sig, sedan man har valt en bas, att V_bas = 1. Om basen är en så kallad ortonormerad bas, är detta ovanligt välmotiverat.

till innehåll