Reella tal

De reella talen bildar en fullständig, ordnad kropp. Denna struktur kallas R, eller fullständigare <R,<,+,·>.

Fullständighet

Redan de gamla grekerna visade att roten ur 2 inte kunde kunde skrivas som ett rationellt tal, alltså som kvoten mellan två heltal. bevis. Mängden Q av de rationella talen hade alltså "hål". Fullständigheten hos R betyder avsaknaden av sådana hål i en bestämd mening.

Här har vi två sätt att göra tal. Vi gör tal som kvoter mellan heltal. Och vi gör tal som lösningar till ekvationer som x²=2. Men de båda sätten täcker inte varandra. Man skulle kanske önska, att man kunde hitta på ett helt nytt sätt att definiera tal, som skulle täcka åtminstone båda dessa. Men, det tycks man inte ha lyckats med, kanske för att det inte går. I stället löser man problemet med vad man skulle kunna kalla en slutning.

Slutning

Man kan kanske hämta inspiration från begreppet konvexa mängder. Vi har en mängd punkter i ett vektorrum. Därmed vet vi vad som menas med en rät linje mellan två punkter. En mängd är konvex, om varje punkt på en rät linje mellan två punkter i mängden, också tillhör mängden. Låt nu M vara en mängd, som inte är konvex. Då kan vi göra det slutna höljet till M, genom att helt enkelt lägga till alla dessa punkter på räta linjer, som inte är med i M själv.

Nu kan vi enkelt lösa de gamla grekernas problem. Vi bildar R genom att lägga till roten ur 2:

R = Q ∪ {roten ur 2}

Cauchy

Cauchy förmodar att de tal som fattas i Q kan utgöra gränsvärden för talföljder, där alla de ingående talen q_i är rationella. Kravet på talföljden är att alla tal i den konvergerar mot varandra när i går mot oändligheten. Det formuleras på vanligt sätt så här. Givet ε, så finns det ett N så att

|q_i - q_j| < ε

Weierstrass

Weierstrass har en idé som ser enklare ut, och som ger det nu vanligaste sättet att definiera R. Givet en mängd tal, som är uppåt begränsad. Det betyder att man kan bevisa att alla tal i mängden är mindre än något tal X. Ett tal Y > X duger ju så fall också som en sådan övre begränsning. Men det måste då finnas en minsta övre begränsning. Om det finns ett sådant tal, som inte tillhör Q, så lägger vi till det i R.

Alltså

R = Q ∪ {alla minsta övre begränsningar}

Dedekind

Dedekind inför ett snitt genom att dela in de reella talen i två delmängder L och U. De har ingen gemensam skärning, och deras union är hela R. L och U definieras av att om x ∈ L och om y ∈ U så är x < y. För varje sådant snitt finns det ett tal r∈L så att x≤r för alla x∈L, och y≧r för alla y∈U. Sedan har vi

R = Q ∪ {mängden av alla sådana r}

Algebran

Utifrån dessa konstruktioner kan man sedan bygga upp en algebra av R och addition och multiplikation. Utifrån Dedekinds snitt bygger man upp addition på följande sätt. Talet x bestämmer ett snitt, som bestäms av ett L kallat L_x. För talet y har ett L_y. För x+y har vi L_x+y. Det är den Mängdmässiga summan av L_x och L_y:

L_x+y = L_x+L_y

A + B = {a+b | a∈A och b∈B}

För multiplikation får man specialbehandla de negativa talen, men för positiva tal, har vi ungefär detsamma som för addition:

L_x · L_y = { x · y | x ∈ L_x , y ∈ L_y}

Med dessa definitioner (kompletterad också för negativa tal) givna, så kan man visa att algebran < R , + , · > utgör en kropp

Ordning

Nu har vi kvar påståendet att R är en ordnad mängd. Det betyder att det finns en ordningsrelation > mellan talen. Den är vad man skulle tro, och den ger till yttermera visso en totalordning, dvs givet två olika reella tal a och b, så är det antingen så att a > b, eller så att b > a. Man relaterar också ordningsrelationen med addition och multiplikation genom följande axiom, som bestämmer relationen >:

a > b ⇒ a+c > b+c

a > b och c > 0 ⇒ a·c > b·c

Archimedes lag

Med allt detta på plats kan man visa satser. En gammal sats är denna:

Archimedes lag: Om a och b är positiva, så finns det alltid ett heltal n så att b·n > a.

#

Med hjälp av detta kan man visa denna märkvärdiga sats:

Sats: (om att Q är tät i R).
Mellan två reella tal vilka som helst finns minst ett rationellt tal: alltså givet: x ∈ R och y ∈ R, som är större än x, så finns ett q ∈ Q sådant att x < q < y.

Nu kan man låta x vara givet, och välja y så nära x som man önskar. q ligger då ännu närmare x än vad y gjorde. Alltså kan vi approximera ett reellt tal godtyckligt väl som ett rationellt tal. En variant av detta är följande. Ett reelt tal x, kan godtyckligt väl approximeras av det rationella talet m/pⁿ. Om p är 10, så är det här en decimalbråksform av ett rationellt tal, och sådana duger alltså också för att approximera reella tal med godtycklig nogrannhet.

Decimalbråk

Decimalbråken kan kanske hjälpa oss att förstå mer av det här. Om ett decimalbråk representerar ett rationellt tal, så är decimalutvecklingen periodisk. Utvecklingen har då en inledande transient av godtyckliga siffror, men sedan kommer en period av siffror, som ständigt upprepas. 1/3 = 0.3333333... är ett exempel, egentligen utan transient, och med en period som bara består av siffran 3. 1/4 = 0.25 är ett exempel, med 25 som transient, och enbart 0 som period (som vi inte brukar sätta ut). Uppenbarligen måste inte alla decimalbråkstuvecklingar vara periodiska. I alla sådana fall är talet inte rationellt, utan det måste bli ett tillägg till mängden av de rationella talen. Fast det är inte så lätt att försäkra sig om att en decimalutveckling inte är periodisk. Vi måste hela tiden försäkra oss om att vi har fantasi nog för att skapa nya saker.

När vi ser ett tal, kan vi inte heller förvissa oss om huruvida vi har ett rationellt tal eller inte. Talet, som inte har en period, kan ju när som helst få det, när vi får fram fler decimaler senare. Och ett tal, som har en period, kan ju när som helst överge den perioden, och börja på något annat.

Satsen om att Q är tät i R kan vi också förstå genom decimalbråksutvecklingar. Vi har x, som en decimalbråksutveckling och y som en annan. Om y skall ligga nära x, så måste de båda utvecklingarna vara lika ganska länge. Då låter vi q ha samma decimalutveckling som x och y, men vi hugger av den på den decimal där x och y's utvecklingar skiljer sig. Med lite omsorg om sista siffran, kan vi se till att q hamnar mellan x och y.

Klasser av tal

Tal som är med i R men inte i Q, och som alltså inte är rationella, kallar vi för irrationella tal.

De irrationella talen kan man dela in i mindre klasser, algebraiska tal, transcendenta tal osv. Algebraiska tal är lösningar till n:e gradsekvationer.

Längst ut i denna kedja finns något som kallas tal av infinite complexity, alternativt random complexity. Det här handlar om komplexitetsteori, och alltså hur svårt det är att beskriva ett tal. Det handlar alltså inte, vilket komplexitetsteori ofta gör om hur svårt det är att räkna ut talet.

Tar vi till exempel talet π, så kan vi slå upp detta i ett uppslagsverk. Om artikeln där är bra, så duger den som definition av π, och den är säkert inte så stor. Tar vi ett algebraiskt tal, så kan vi ungefär skriva "lösningen till" och så den önskade n:e gradsekvationen, och det tar inte stor plats.

Men för de flesta tal är det inte så här. Det finns ingen annan beskrivning av talet än alla dess decimaler, och de är oändligt många. Har vi ett rationellt tal, så är ju decimalutvecklingen periodisk, och då behöver vi bara ange transient och period. För irrationella tal kanske vi kan hitta andra listiga mönster. Men nästan alltid misslyckas vi med att se detta mönster. Då har vi ett tal av infinite complexity. En kollega till mig, som jag inte kommer ihåg namnet på, har sagt så här: "Så, ingen människa har någonsin sett ett sådant tal!". Det är mycket sant.

Bevis för att roten ur 2 är irrationellt.

Man kan först observera att jämna tal har jämna kvadrater och att udda tal har udda kvadrater. Udda tal saknar ju en 2-faktor, och då kan en sådan inte tillkomma vid kvadreringen. Jämna tals kvadrater innehåller två tvåfaktorer, och är alltsä jämnt delbara med 4. Antag nu att roten ur 2 kan skriva som m/n. Sedan vi förkortat bort gemensamma faktorer, kan inte bäde m och n vara jämna, för då skulle de ju innehålla en gemensam 2-faktor. Å andra sidan följer det av antagandet, att 2 = m²/ n². Då är m²=2n² jämn, och då även m själv. Därmed är m² delbar med 4. Då är n² = m²/2 jämn, och då är även n jämn. Alltså är det både sant och falskt at både m och n är jämna. Vi har en motsägelse, och den följer av antagandet att roten ur 2 skulle vara ett rationellt tal, vilket därmed måste förkastas. Detta bevis härrör från en av medlemmarna i kretsen kring Pythagoras. I den kretsen var naturligtvis roten ur 2 ett intressant tal, eftersom det är längden av diagonalen genom en enhetskvadrat.