Reella tal

De reella talen bildar en fullständig, ordnad kropp. Denna struktur kallas R, eller fullständigare <R,<,+,·>.

Fullständighet

Redan de gamla grekerna visade att roten ur 2 inte kunde kunde skrivas som ett rationellt tal, alltså som kvoten mellan två heltal. bevis. Mängden Q av de rationella talen hade alltså "hål". Fullständigheten hos R betyder avsaknaden av sådana hål i en bestämd mening. Det vanligaste sättet att uttrycka denna fullständighet är genom följande

Axiom: Givet en uppåt begränsad mängd av reella tal. Det finns alltså övre begränsningar till mängden bortom vilken talen inte tillhör mängden. Då finns det en minsta sådan övre begränsning, som är ett reellt tal. #

Mängden R får alltså inte ha ett hål vid denna minsta övre begränsning.

Dedekind, Cauchy och Weierstrass har givit andra formuleringar av fullständighet.

Dedekind inför ett snitt genom att dela in de reella talen i två delmängder L och U. De har ingen gemensam skärning, och deras union är hela R. L och U definieras av att om x L och om y U, så är x < y. För varje sådant snitt finns det då ett reellt tal r, så att x ≤ r för alla x som tillhör L, och y ≥ r för alla y, som tillhör U.#

r utgör alltså en gräns mellan L och U, och axiomet säger att R inte får ha något hål vid denna gräns.

Cauchy inför en så kallad Cauchy-följd, som är en talföljd ci där talen konvergerar mot varandra, dvs givet ett η, så finns det ett n, så att |ck - cl| < η, så snart både k och l är större än n. En sådan Cauchy-följd konvergerar mot ett gränsvärde, och för varje Cauchy-följd skall detta gränsvärde vara ett reellt tal.

Utifrån konstruktionerna i dessa axiom kan man sedan bygga upp de reella talen. Konstruktionen bygger då på mängden Q av de rationella talen. Så här gör man utifrån Dedekinds axiom:

Man inför ett Dedekind-snitt bland de rationella talen, alltså de två mängderna L och U. För att mängderna inte skall gå om lott, måste randen tillhöra den ena av mängderna, och vi väljer då att föra den till L. Nu blir snittet bestämt av enbart mängden L. Varje sådan snitt kan nu identifieras med ett reellt tal. Dedekinds definition säger alltså formellt att ett reellt tal är ett snitt.

Addition och multiplikation

Nu kan man också definiera addition och multiplikation. Addition skall ordna ett snitt till ett par av snitt. Summan av snitten L1 och L2 är den mängdmässiga summan av L1 och L2, dvs

L1 + L2 = {x1 + x2| x1L1 , x2L2 }
För multiplikation får man specialhantera de negativa talen, men om snitten L1 och L2 svarar mot positiva tal så är
L1·L2 = {x1·x2| x1L1 , x2L2 och minst ett av x1 eller x2 är >0}
Med dessa definitioner visar man sedan att algebran <R,+,·> är en kropp.

Ordning

Att en de reella talen är ordnade betyder att man har en ordningsrelation > som ger en totalordning, dvs givet två reella tal x och y, som inte är lika, då är antingen x > y eller y > x. Sedan relaterar man också ordningsrelationen till operationerna + och · genom axiomen (kraven på >) att

a > b a+c > b+c

a > b och c > 0 ac > bc

Med allt detta på plats kan man visa satser. En gammal sats är denna:

Archimedes lag: Om a och b är positiva, så finns det alltid ett heltal n så att b·n > a.

#

Med hjälp av detta kan man visa denna märkvärdiga sats:

Sats: (om att Q är tät i R). Mellan två reella tal vilka som helst finns minst ett rationellt tal: alltså givet x R och y R med x < y så finns det heltal m och n så att

x < m/n < y
#

Det betyder att x kan approximeras godtyckligt bra som ett rationellt tal, för man kan välja y godtyckligt nära x och då ligger m/n ännu närmare x.

En variant är detta: Givet x R och y R med x < y och ett positivt heltal p, så finns det heltal m och n så att
x < m/pn < y
#

Om p = 10, så betyder detta att ett rationellt tal kan approximeras godtyckligt väl som ett decimalbråk.


Bevis för att roten ur 2 är irrationellt.

Man kan först observera att jämna tal har jämna kvadrater och att udda tal har udda kvadrater. Udda tal saknar ju en 2-faktor, och då kan en sådan inte tillkomma vid kvadreringen. Jämna tals kvadrater innehåller två tvåfaktorer, och är alltså jämnt delbara med 4. Antag nu att roten ur 2 kan skriva som m/n. Sedan vi förkortat bort gemensamma faktorer, kan inte både m och n vara jämna, för då skulle de ju innehålla en gemensam 2-faktor. Å andra sidan följer det av antagandet, att 2 = m2/ n2. Då är m2=2n2 jämn, och då även m själv. Därmed är m2 delbar med 4. Då är n2 = m2/2 jämn, och då är även n jämn. Därmed har vi reducerat antagandet att roten ur 2 är ett rationellt tal till en orimlighet. Detta bevis härrör från en av medlemmarni i kretsen kring Pyhagoras.


till innehåll