Funktioner av mängder

Givet en funktion, f, från D till M. Den avbildar element ur D på element ur M. Den inducerar en funktion, som vi temporärt kallar fs, som avbildar delmängder ur D på delmängder ur M på följande sätt:

fs(S) = {y| ∃ξ ∈S: f(ξ)=y}
Det kan förenklat skrivas
fs(S) = {f(ξ)| ∀ξ ∈S}
Idén är här att vi låter en hjälpvariabel ξ löpa över S, och noterar vilka värden f(ξ) träffar.

fs(S) är alltså en mängd, nämligen den mängd som f avbildar S på. Man utelämnar nästa alltid index 's' och underförstår att funktionssymbolen skall tolkas i mängdmening när argumentet är en mängd.

En viktig egenskap hos de här inducerade funktionerna är, att de alltid har en invers. En funktion saknar invers, om den tänkta inversen saknar entydighet. T.ex saknar funktionen
x2
en invers, eftersom en tänkt invers invsqr skulle avbilda talet 4 både på 2 och på -2. Men invsqrs gör följande:
invsqrs({4}) = {-2,2}
{-2,2}, det är mängden av två punkter, men det är en mängd. Alltså har vi inga problem med entydigheten här. Därför hara alla funktioner inverser i 'mängdmening'.

till innehåll