Topologiska identiteter

Givet en ett topologiskt rum, S, med en rand. Vi kan säga att en punkt P₁ på randen är identifierad med en annan punkt P₂ på randen skrivet P₁ ~ P₂. Detta representerar någon slags slutenhet, där vi, då vi kommer från S till punkten P₁ kan fortsätta från P₂ till en annan del av S. På detta sätt kan vi t.ex. låta en fyrkantig karta representera en cylinder.

Denna idé kan vi formalisera genom att skapa en topologi med kluvna klot. Vi utgår från den "vanliga topologin", som baseras på klot som baseras på metriker. Vi modifierar den vanliga metriken d till en metrik d' på följande sätt:

d'(x,y)=min(d(x,y), min(d(x,P₁)+d(P₂,y)))
där det andra minimat tages över alla P₁ och P₂ sådana att P₁ ~ P₂.

Om vi alltså kan hitta en genväg från x till y via ett par av identifierade punkter, så låter vi den bestämma avståndet.

De klot, som genereras av den här modifierade metriken, blir kluvna klot, som har en del i anslutning till P₁ och en del i anslutning till P₂

På samma sätt kan vi göra med en mängd som består av flera delar (komponenter). Vi kan identifiera en punkt på randen av en komponent med randen av annan punkt på en annan komponent

Möbiuskartor

En möbiuskarta består av rektangulära kartor där kanter som har identifierade sidor är markerade. Identifierad punkter behöver inte markeras punkt för punkt, utan man markerar bara en riktning på vardera kanten, som talar om i vilken ordning de identifierade punkterna dyker upp. Dessutom måste man ange en identiferande symbol vid de båda kanterna. Därutöver kan hörnpunkter vara identiferade, vilket också markeras med symboler.

Varje rektangulär delkarta representerar en yta som genom sträckning, skjuvning, böjning m.m. kan deformeras till en rektangel.Möbiuskartans uppgift är att beskriva slutenhetsegenskaper hos ytan.

I andra dimensioner än 2 kan en Möbiuskarta bestå av linjer eller parallellepipeder (dim 3) eller hyperparallellepipeder (dim > 3). En cirkel representeras t.ex. av en möbiuskarta, som är en ändlig rät linje, där ändpunkterna är identifierade.

Exempel på Möbiuskartor

Cirkeln Cirkeln beskrivs alltså av följande Möbiuskarta:



Från en punkt nära P till höger kan man komma vidare vid P till vänster.

Cylinder Cylindern beskrivs av följande Möbiuskarta:



Sidorna b och b i kartan är inte identifierade med några andra sidor och representerar därför cylinderns rand. Vi kan rulla ihop figuren till ett rör och klistra fast a mot a. Men vi kan också tänja ut figuren i ena kanten och tillverka en rund skiva med ett hål. Dessa två figurer är topologiskt identiska. Man kan deformera den egna figuren till den andra, utan att punkter som ligger nära varandra kommer långt ifrån varandra.



Möbiusbandet. I nästa figur har vi vänt riktningen p en av de identiferade pilarna:



Den tredimensionella figuren blir ett vridet band, kallat Möbiusbandet.



Den har en rand, som består av sidorna b och c men de sidorna hänger ihop, för ena ändpunkten på b är identisk med den andra ändpunkten på c eftersom de båda är "bakänden" på sidan a, och samma sak gäller också för "framänden" på a. Ett Möbiusband har därför bara en kant, som löper två varv runt figuren. I teorin för dynamiska system svarar Möbiusbandet därför mot ett fenomen som kallas periodfördubbling. Möbiusbandet kan plattas ut liksom cylindern, men det kan inte bli en helt plan figur; den måst bubbla upp i en tredje dimension vid vridningen.

Rösslers band, Man kan kombinera en cylinder och ett Möbiusband till en figur som är både vriden och icke vriden, och som kallas Rösslers band. Nedan syns både Möbiuskartan och en tredimensionell realisering av figuren. En hjälppil i båda figurerna visar hur man avlägsnar sig från linjen a.



Figuren har alltså kluvna klot (eg. cirkelskivor),som består av tre delar. Den är inte helt lätthanterlig teoretiskt som mångfald, men den är viktig som tillståndsrum för ett dynamiskt system, som kan uppvisa kaos.

Torusen. Om man identifierar de båda delarna av randen till en cylinder, så svarar det mot att man måste rulla ihop cylinderröret och klistra ihop rörändarna. Man får en torus.



Torusen är en sluten figur, dvs den saknar rand. Den tredimensionella representationen är en smula osymmetrisk vad gäller de båda identifierade sidorna a och b, medan Möbiuskartan är helt symmetrisk. Därför gör sig torusen egentligen bättre i en fyrdimensionell värld. Torusen kan konstrueras som den Cartesiska produkten mellan två cirklar, och betecknas därför med S¹ × S¹, där S¹ betecknar cirkeln (den endimensionella sfären.). I teorin för dynamiska system representerar torusen ett system med två oberoende oscillatorer (svarande mot var sin cirkel). Man kan gå vidare till S¹ × S¹ × S¹.

Kleins flaska. Om man vänder på identifieringen på cylinderröret, så får man svårt att rulla ihop röret så att rörändarna är orienterade på rätt sätt. En lösning är att sticka in den ena röränden i röret. Resultatet kallas Kleins flaska:



Att ytan skär sig själv, där halsen går in i flaskkroppen, är ett fenomen, som inte har någon motsvarighet i Möbiuskartan. Det är en topologisk defekt, som innebär att en Kleinsk flaska egentligen inte kan realiseras i tre dimensioner.

Sfären. Möbiuskartan för en sfär ser ut så här; till höger i en kantigare variant, där vi har delat upp sträckan a i två delsträckor. Punkterna N och S (som inte är identifierade) kan vara nord- och sydpolen, och sträckan a kan vara en meridian (longitud) t.ex. 180-graders-meridianen.



Den vridna sfären. Om man vänder på en av pilarna i kartan för en sfär, så får man en figur, som inte lätt går att återge i tre dimensioner, kallad den vridna sfären.



Observera att det är en unipolär figur, alltså att nord- och sydpolen sammanfaller. Den vridna sfären, även kallad det projektiva planet representerar mängden av oändligt långa räta linjer som passerar genom origo. Varje sådan linje skär enhetssfären på två ställen. Om man svänger runt en linje 180 grader, får man samma linje. Därför kan man representera varje linje med sin skärningspunkt på den nedre halvsfären. Men linjer i horisontalplanet skär ändå halvsfären i två punkter. De båda skärningspunkterna representerar samma linje och är då identifierade. Därmed har vi en halvsfär med en kant med identifierade punkter. Efter tillplattning får vi den plana Möbiuskartan ovan.

SO(3,R). Lie-gruppen SO(3,R) representerar alla vridningstillstånd hos en stel kropp. Euler har visat att varje vridningstillstånd kan nås från ett referenstillstånd med hjälp av en vridning kring en axel. Vridningsaxeln kan representeras som en linje från origo, och vridningens storlek kan representeras som en längd hos linjen. Men vridningar med en vinkel α är identiska med vridningar med vinklar α+n·2π. Därför behöver vi bara representera ett vinkelintervall som är 2π stort. Det är naturligt att då lägga det mellan -π och π. Men ändpunkterna på en sådan linje representerar samma vridningstillstånd, för en vridning framåt med π radianer ger samma resultat som en vridning bakåt med π radianer. En Möbiuskarta får SO(3,R) är därför en sfär med radien π och med varje punkt identifierad med sin antipod.

Orienterbara och icke orienterbara mångfalder

Somliga av de mångfalder, som vi har presenterat ovan har varit "vridna". En mera officiell beteckning på de icke-vridna mångfalderna är, att de är orienterbara.

I två dimensioner är det relativt lätt att avgöra vilka mångfalder som är orienterbara. Om man rör sig runt kanten på Möbiuskartan, och stöter på två identifierade sidor, så kan de peka mot varandra. Då säger man att man har ett toroidpar. Om de pekar med varandra (alltså båda med eller båda mot färdriktningen runt kanten) så säger man att man har ett vridet par. Det vridna paret känneteckar en vriden, alltså icke-orienterbar, mångfald. Man kan visa att existensen av ett vridet par är en "dominant" egenskap, dvs om det finns ett vridet par, så kan man klippa sönder och klistra ihop Möbiuskartan, tills alla par är vridna. Figuren visar ett exempel, där utgångsläget är Möbiuskartan för Kleins flaska:



I den vänstra figuren har vi ritat in en diagonal,h, längs vilken vi klipper sönder figuren. Därefter vrider vi den ena triangeln, så att vi kan klistra ihop a mot a med rätt identifieringsordning. Nu har vi bara vridna par. Därmed kommer alla slutna ytor att falla i en av två kategorier, orienterbara och icke orienterbara.

I högre dimensioner än 2 får man använda andra kriterier. Det allmänna kriteriet har att göra med de koordinatbytesfunktioner som dyker upp då man flyttar sig från en karta till en annan i en atlas. Koordinatbytesfunktionen ges som b=x^k ○ (x^j)^-1. Koordinatbytesfunktionen kan lineariseras i en punkt, vilket ger en matris (Jacobianen) med element:

J_kj = ∂b_k/∂x_j

Rösslers band var både orienterad och icke-orienterad på en gång, och faller därmed utanför ramen för satsen att varje mångfald, är antingen eller. Men Rösslers band uppfyller inte kriterierna för en mångfald.

Simpliciala komplex

Ett simplex är ett geometrisk objekt som representeras av en Möbiuskarta med en rektangel (linje parallellepiped etc), där inga kanter och inga hörnpunkter är identiferade.

Ett simplicialt komplex C är ett geometriskt objekt som representeras av en uppsättning av Möbiuskartor för simplex, där somliga kanter är identifierade med somliga andra kanter.Vi inför beteckningen S för mängden av punkter som tillhör någon Möbiuskarta i denna uppsättning av Möbiuskartor. Punkterna har sina identifieringsegenskaper med sig i S, och punkter, som är identifierade skall betraktas som identiska.

Varje delmängd S_i av S, genererar automatiskt ett (enklare) simplicialt komplex, som kallas C_i. Vi har alltså en avbildning F från varje S_i till motsvarande C_i. F motsvarar proceduren: tag alla Möbiuskartorna som bygger upp S_i och sätt ihop dem genom att klistra ihop identifierade punkter. När representationen av C med S är given, är F inverterbar, alltså en isomorfism

Inför nu en operation Δ, som ges av

M Δ N = mängden av alla element, som tillhör M eller N men inte båda

F avbildar ∅, den tomma mängden av Möbiuskartor på det tomma komplexet, som kallas 0.

Mängden av komplex, som genereras av F från en mängd Möbiuskartor, tillsammans med +, bildar en grupp. Enhetselementet är 0. Varje element är sin egen invers.

Randen till ett simplicialt komplex

Randen till ett simplicialt komplex C betecknas med ∂C. Randen till ett simplex definieras på följande sätt:

I dimension 0 är randen till en punkt den tomma mängden ∅.

I dimension 1 är randen till en linje dess båda ändpunkter.

I dimension 2 är randen till en rektangel dess kanter.

I dimension 3 är randen till en parallellepiped dess kantytor

Randen till ett simplicialt komplex definieras nu av följande regel:

∂(A+B) = ∂A + ∂B

Slutna komplex och ränder

Ett simplicialt komplex C kallas slutet, om

∂C = 0

C = ∂A

∂∂A = 0  för alla A

De här begreppen har en motsvarighet i teorin för differentiella former. En differentiell form ω kallas sluten om

dω = 0

ω= dβ

ddβ = 0

Homologi

Med hjälp av begreppet rand och operationen + kan man bilda en ekvivalensrelation, kallad homologi, eller att vara homolog med. Två simpliciala komplex C och D är homologa, skrivet

C ~ D

C + D är en rand

R + 0 = R som är en rand