Gruppen SO(3,R)

O(n,R) är en Lie-grupp. Dess medlemmar är linjära avbildningar från Rⁿ till Rⁿ, som bevarar en symmetrisk inre produkt B. Det betyder att en medlem L skall ha egenskapen

B(L(x),L(y)) = B(x,y)

Med hjälp av begreppet adjungerad avbildning finner man då att

A^-1 = A^T

för de matriser som realiserar avbildningen. Om det(A) = a så gäller

det(A^-1)=1/a

det(A^T)=a

Varav följer att a²=1 eller det(A) = ±1. En medlem i O(n,R) ökar eller minskar alltså inte volymen hos en figur som den avbildar, men den kan spegla figuren, vilket svarar mot en volymskalning med -1. Gruppen SO(n,R) innehåller bara de avbildningar som har volymskalningen = +1, alltså sådana med A sådana att

det(A)=1;

Gruppen SO(3,R) är specialfallet för n=3, och den beskriver då vridningstillståndet för en vanlig tre-dimensionell stel kropp.

Tangentrummet T_eSO(3,R)

Tangentrummet till en mångfald som SO(3,R) definieras formellt med koordinater X(f) svarande mot reellvärda funktioner över mångfalden enligt

X(f) = df(γ_t)/dt

där γ är en kurva genom gruppen. Här har vi nu en kurva av lineära avbildningar, som vi kan representera med en kurva A av matriser med värden A_t. Som f väljer vi koordinatfunktionerna B^ij som ges av att B^ij(A) = A_ij. Denna funktion kommuterar med derivering, så vi har:

X(B^ij) = dB^ij(A_t)/dt = B^ij(dA_t/dt)

Därmed ser vi att vi är inresserade av derivatorna av matriserna själva. Vi låter kurvan A_t passera enhetsmatrisen I vid t=0.

Ortogonalitetsvillkoret, som måste gälla för alla A_t om kurvan skall ligga kvar i gruppen, kan vi skriva som:

A^T_tA_t=I

Vi kan applicera Leibniz's regel för derivering av en produkt på detta (den fungerar även för matrismultiplikation, för den kräver bara bilinearitet hos produkten).Och får då för dA_t/dt = A_t';

A^T_t'A_t + A^T_tA_t' = 0.

För t=0 ger detta:

A^T' + A' = 0.

Detta satisfieras av alla skevsymmetriska matriser och inga andra. En skevsymmetrisk matris kan vi skriva på den allmänna formeln

0 ω₃ -ω₂

-ω₃ 0 ω₁

ω₂ -ω₁ 0

(Den exakta placeringen av minustecknen är godtycklig men enligt konvention). Den här matrisen blir helt bestämd av de tre parametrarna ω₁, ω₂ och ω₃, som då fungerar som koordinater för T_eSO(3,R). Eftersom det är ett vektorrum, så skall det finnas en motsvarande bas, och den är tre skevsymmetriska matriser b_k, med vardera bara 2 element skilda från 0. En medlem i T_eSO(3,R) skriv då som:

X = ω₁b₁ + ω₂b₂ + ω₃b₃

Tupeln (ω_i,ω₂,ω₃) kallas för rotationsvektorn.

Exponentialformen

Grupperna SO(n,R) hör till de grupper där representationen med exponentialfunktionen fungerar. En medlem F i SO(3,R) kan då skrivas:

F = exp(ζ₁b₁ + ζ₂b₂ + ζ₃b₃)

Här har vi nu bytt variabelnamn från ω till ζ. Anledningen är att vad som egentligen ingår i exponentialformen, är en vektor ur tangentrummet multiplicerad med t. Eftersom tangentrummet är ett vektorrum, så spelar multiplikationen med t ingen roll för vilka punkter man kan nå, men fysikalisk och dimensionsmässigt är det skillnad på tangentvektorn, och den vektor som skall stå i exponentialformen.

Av detta framgår nu att talen ζ₁, ζ₂ och ζ₃ fungerar som koordinater för gruppen. Tupeln (ζ₁, ζ₂, ζ₃) kallas vridningsvektorn. Vi återkommer till den.

Å andra sidan kan man bygga upp gruppen av enskilda exponentialfunktioner och gruppoperationen. Ordningen i vilken man tar basmatriserna b_k är i princip godtycklig, men den kan påverka de nummeriska egenskaperna hos representationen. Det är heller inte bevisat här, att detta verkligen ger en täckande representation. Vi får

F = exp(Φb_x)○ exp(Θb_y)○ exp(Ψb_z)

Varje faktor representerar en vridning kring en axel, och vi har markerat axlarna genom att indexera baselementen med x,y och z. Varje vridning görs kring de axlar som uppkommit efter de föregående vridningarna. Storheterna Ψ,Θ och Φ kallas Eulervinklar och individuellt kallas de gir- tipp- och rollvinklar i flygsammanhang. (I fartygssammanhang kallas de gir- stamp- och rullvinklar). Enligt ett resonemang som förs här så kan man visa att de tre exponentialuttrycken blir matriser bestående av 1:or 0:or och sin och cos för resp. vinkel.

Vridningsvektorn ζ

Medlemmarna F i SO(3,R) är avsedda att verka på vektorer i ett vektorrum. Om vi representerar F som matriser, så skall vektorerna representeras med sina koordinattupler. Givet nu en vektor x. Efter vridningen med F kallar vi den y. Vi inför en beteckningen Z enligt

Z(ζ)= ζ₁b₁ + ζ₂b₂ + ζ₃b₃

och har då att

y = exp(Z(ζ))x

Nu uttrycker vi alltsammans i ett annat koordinatsystem där koordinaterna är x' och y'. och där transformationen tillbaka till x och y ges av en transformation T. Då kan vi skriva:

Ty' = exp(Z(ζ))Tx'

varav

y' = T^-1exp(Z(ζ))Tx'

Nu kan man inse att man kan flytta in transformationerna T^-1 och T inuti serieutvecklingen för för exponentialfunktionen, för inuti potenserna A^p får vi produkter TT^-1 som försvinner. Vi har alltså:

y' = exp(T^-1Z(ζ)T)x'

När vi multiplicerar ihop argumentet för exponentialfunktionen, så så får vi på nytt en skevsymmetrisk matris, och på varje plats står det lineärkombinationer av de ursprungliga ζ-komponenterna. Allting kan då skrivas på formen:

y' = exp(Z(Aζ))x'

Man kan sedan med hjälp av formeln för inversen till en matris baserad på så kallade subdeterminanter se att

A = T^-1

Om vi i analogi med x och y kallar T^-1ζ för ζ', så har vi

y' = exp(Z(ζ'))x'

Vi ser att vektorn ζ transformeras på samma sätt som de vektorer som transformationerna verkar på.

Givet nu en avbildning F ur SO(3,R). Den ges av någon vridningsvektor ζ vars koordinater koordinatiserar F. Sedan måste det finnas en transformation T, som gör att vektorn ζ' bara får en 1-komponent. Sedan ser man genom att studera matrisen exp(Z(ζ') att den transformationen lämnar varje vektor som ligger längs 1-axeln oberörd. Transformationen är då en rotation kring 1-axeln. Varje avbildning kan därför beskrivas som en vridning kring en axel. Detta viktiga resultat går tillbaka till Euler. Axelriktningen är vektorn ζ:s riktning. Vridningens storhet är normen ║ζ║.

Integrationsformler

Generellt för Lie-grupper har vi ekvationen

dΦ_t/dt=dΦ₀/dt Φ_t

Φ_t har vi nu valt att kalla F. För dΦ₀/dt har vi funnit matrisen

0 ω₃ -ω₂

-ω₃ 0 ω₁

ω₂ -ω₁ 0

som vi i linje med tidigare beteckningar skulle kunna kalla Z(ω). Rotationsvektorn ω är just den rotationsvektor som styrs av vridmoment, mäts av gyron osv. Det är därför praktiskt intressant att lösa F ur differentialekvationen

dF/dt = Z(ω) F

och där ω hämtas från en uppsättning gyron. Det här är en relativt tung beräkning för ändamålet. Man kan i stället integrera Eulervinklarna. Vi inför beteckningarna:

F_Φ=exp(Φb_x)

F_Θ=exp(Θb_y)

F_Ψ=exp(Ψb_z)

Då kan man härleda följande samband:

ω=dΦ/dt + F_ΦdΘ/dt + F_ΦF_ΘdΨ/dt

Vilket kan skrivas som en enkel matris (Hybridmatrisen, eftersom den är en hybrid mellan olika transformationsmatriser):

ω=H·(dΦ/dt,dΘ/dt,dΨ/dt)

Genom att invertera H kan man lösa derivatorna för Eulervinklarna och integrera, men H^-1 är singulär för Θ nära 90 grader. .... Slutligen kan man integrera F genom att representera den med kvaternioner.

Topologiska egenskaper

Vridningsvektorn ζ uppträder alltså i de flesta avseenden som en "geometrisk vektor", och det betyder att SO(3,R) topologiskt ser ut som rummet R³. Men ζ är speciell på det sättet att dess belopp är en vinkel, och vinklar präglas av den topologiska identifieringen att en vinkel α är identisk med vinkeln α+2nπ. Vi skall då bara representera vinklar inom ett intervall, som är 2π radianer stort. För varje riktning hos ζ väljer vi då att representera intervallet från -π till π. Men en vridning med en vinkel -π kring en viss axel är samma transformation som en vridning med en vinkel π kring samma axel. Därför har vi en topologisk identitet mellan de båda ändpunkterna. Sammanfattningsvis blir vår representation av SO(3,R) en sfär med radien π, där varje punkt är identifierad med sin antipod.

Den här representationen baserar sig på koordinatiseringen med vridningsvektorn ζ. Om vi koordinatiserar med Eulervinklar, får vi en liknande topologisk beskrivning, men med besvärligare fall av topologiska identiteter. Tag t.ex. ett flygplan som flyger söderut och "rätt på vingarna". Antag att flygplanet nu stiger uppåt och passerar över tippvinkeln 90 grader och sedan upp till planflykt. Nu finns det två sätt att beskriva situationen.

Flygplanet flyger nu norrut och med tippvinkeln 0 grader men rollvinkeln är 180 grader
Flygplanet flyger fortfarande söderut och med rollvinkeln 0 grader, men tippvinkeln är 180 grader

Dessa båda beskrivningar representerar två topologiskt identiska koordinatiseringar. Det är ingen tvekan om vilken beskrivning som en pilot skulle föredra, men om vi alltid skall hålla fast vid den (första) beskrivningen, så måste vi se till att byta representation vid passagen av tippvinkel 90 grader.

Vi har också en isomorfi mellan SO(3,R) och SU(2,C) och Sp(1,H). I de senare fallen har vi 4 koordinater med villkoret att deras Pythagoreiska summa skall vara 1. Geometriskt är detta en sfär (ett sfäriskt skal) i den 4-dimensionella rymden. Här krävs inga särskilda topologiska identiteter, utan de topologiska egenskaperna täcks av denna sfär, som kallas S⁴. Det gör den till ett naturligare rum för att beskriva SO(3,R) topologiskt.

Strukturkonstanter

Givet baserna b_k för tangentrummet, så definieras strukturkonstanterna C^k_ij av:

[b_i,b_j] = ∑_k C^k_ij·b_k

med [X,Y]=XY-YX. Man verifierar lätt att

[b₁,b₂] = -b₃

[b₂,b₃] = -b₁

[b₃,b₁] = -b₂

Strukturkonstanterna framgår då av följande tabell:

	k
	1			2			3
	j			j			j
i	1	2	3	1	2	3	1	2	3
1	0	0	0	0	0	1	0	-1	0
2	0	0	-1	0	0	0	1	0	0
3	0	1	0	-1	0	0	0	0	0

子

Till innehåll