Lie-grupper

En Lie-grupp är en grupp, som också är en mångfald. Mångfalden skall vara en Cω-mångfald. Gruppen definierar två funktioner, nämligen gruppoperationen och inversen, och de skall också tillhöra deriverbarhetsklassen Cω.

Det finns också svagare begrepp med lägre deriverbarhetsklasser. Fallet med C0 (kontinuitet) kallas en topologisk grupp.

Vanligtvis är gruppelementen funktioner, och gruppoperationen är sammansättning. Men funktionerna kan koordinatiseras med parametrar, vilket gör att man har en mångfald. Vanligtvis är funktionerna symmetrioperationer, dvs operationer, som bevarar någon egenskap, och då ofta en inre produkt. Om den inre produkten är B, så skall en medlem L av gruppen uppfylla att

B(L(x),L(y)) = B(x,y)
och man säger att L är en isometri för B och att gruppen är en isometrigrupp.


De klassiska Lie-grupperna

De klassiska Liegrupperna är grupper av lineära avbildningar mellan vektorrum, och de kan då representeras av motsvarande matriser. Namn och egenskaper hos grupperna refererar oftast till dessa matrisers egenskaper. Följande är så kallade klassiska Lie-grupper:


Exponentialform

Låt <G,○> vara en Lie-grupp, vars medlemmar är lineära avbildningar, som då kan representeras med matriser. Matriser bildar vektorrum, och vi kan då ge mening åt att gruppoperationen, ○ är bilineär.

En enparametergrupp, eller i vår terminologi hellre en enkoordinatgrupp, G1 är en kurva Φ, med värden Φt tillsammans med en operation ○, så att <ΦR ,○> bildar en grupp. Om Φa och Φb är gruppelement, så kräver slutenheten hos G1 att det finns ett parametervärde c = c(a,b), så att

Φa ○ Φb = Φc(a,b)
Man kan visa att man alltid kan göra ett variabelbyte, så att funktionen c(a,b) blir lika med addition a+b. I så fall har vi, med nya a och b
Φa ○ Φb = Φa+b
Detta gäller generellt för enparametergrupper. Låt oss nu se om vi kan få enkoordinatgruppen, alias kurvan, G1 att löpa helt inom gruppen G. Avsikten är då att gruppoperationerna skall vara desamma. Vi har då samma enhetselement för både G och G1. Kurvan måste generellt passera enhetselementet i G1, och den passerar därmed också enhetselementet i G. Om Φa tillhör G1 så tillhör den G, och då måste inversen Ψ-a också tillhöra G, för samma element har samma inverser både i G1 och G. Slutenhet har vi, för G är ju i sig själv sluten under ○. Associatviteten har ju bara med själva gruppoperationen, som är densamma. G har alltså de egenskaper, som behövs för att rymma gruppen G1. Vi säger att G1 är en delgrupp av G. Nu är gruppoperationen bilineär, och det möjliggör följande härledning:
t/dt= lim(Φt+dtt)/dt = lim(Φdt○Φt - Φ0○Φt)/dt = lim(Φdt0)/dt ○ Φt= dΦt/dt| t=0 ○ Φt
För att komma från tredje till fjärde ledet i härledningen behöver vi bilineariteten hos ○. Första faktorn i sista ledet är en tangentvektor till kurvan Φ i punkten 0. Vi kallar den A. Vi har alltså:
t/dt = A ○ Φt
För reella tal och med ○ som vanlig multiplikation är detta differentialekvationen för en exponentialfunktion. Vi kan generalisera detta, genom att derivera ekvationen vidare, och få fram alla derivator av Φt, och sedan kan vi teckna en Taylorutveckling. Om operationen ○ är bilineär, så är detta en serieutveckling med matriser, och det går att övertyga sig om att den konvergerar. Den har samma form som den vanliga Taylorutvecklingen av en exponentialfunktion:
exp(○,At) = ∑p(1/p!)Aptp
men det är underförstått att Ap betyder A "multiplicerat" med sig själv p gånger, med gruppoperationen ○ taget som multiplikation. I båda leden betyder multiplikation med t multiplikation med skalären t.

Därmed är exp(○,At) = Φt och därmed en medlem G. Annorlunda uttryckt, så är

exp(○,AR) G
Definitionsmässigt är A, som är en tangent till en kurva genom G en medlem av tangentrummet TeG till G. Vi kan hitta andra tangentvektorer, t.ex. B och med dem bygga upp andra kurvor, alias enkoordinatgrupper, genom G. Frågan är nu: kan vi bygga upp hela den ursprungliga gruppen på detta sätt? Vi skulle alltså föreslå en grupp som:
M = {exp(○,X) | X ∈ TeG }
som vi kan kalla exp(○,TeG). (Vi har utnyttjat att om X tillhör TeG, så gör Xt det också, så vi kan undvara variabeln t.)

Då har vi två frågor: Är detta en grupp, och är det gruppen G?

Den kritiska punkten när det gäller en grupp är alltid slutenheten. Den frågan ser konkret ut så här. exp(○,A) är en gruppmedlem, liksom exp(○,B). Är då exp(○,A) ○ exp(○,A) också det, dvs finns det ett C = C(A,B) sådant att:

exp(○,A) ○ exp(○,B) = exp(○,C)
Svaret är ja, enligt en sats av Campbell, Baker och Hausdorff. Däremot är det inte sant, som det är för reella tal, att C(A,B) = A+B. Det finns heller inget variabelbyte, som skulle kunna förvandla C(A,B) till A+B, som det gjorde för enkoordinatgrupper.

Skälet är att ○ inte generellt är en kommutativ operation (vilket addition är). Vi skulle kunna sätta in A+B i det högra ledet, och sedan utveckla båda led. Då kan vi utnyttja bilineariteten hos ○, men vi kan inte utnyttja någon kommutativitet. I högra ledet får vi en andra ordningens term som
(1/2!)(A+B)○(A+B)t2 = (1/2!)((A○A)+(A○B)+(B○A)+(B○B))t2
Men i vänsterledet har vi
(1/2!)((A○A)+2(A○B)+(B○B))t2
Det är inte samma sak. Skillnaden beror på följande storhet, som kallas Lie-klammern mellan A och B.
[A,B] = A○B - B○A
Om vi känner Lie-klammern, kan vi, som vi ser, räkna ut andragradstermen i C(A,B). Faktiskt kan vi då räkna ut alla högre ordningens termer också. Därmed existerar ett C = C(A,B). Men en annan fråga är om detta C tillhör TeG. Detta är också en del av Campbell-Baker-Hausdorffs sats. Därvid gäller att för ett vektorrum, som är tangentrum till en lineär grupp, så är rummet slutet under operationen [,]. Rummet är som vektorrum också slutet under + och under t·. Därmed är rummet slutet under alla de operationer vi behöver för att räkna ut C(A,B), och vi kan alltså inte någon gång lämna TeG. Därmed har vi svarat på den första frågan. Vi har en grupp.

Den andra frågan är då är exp(○,TeG) = G, dvs kan vi återskapa G med exponentialfunktioner av tangentvektorer ur dess tangentrum? Generellt kan man inte det, för somliga Lie-grupper, t.ex. O(n,R) består av åtskilda komponenter, och vi kan aldrig få våra exponentialkurvor att hoppa från en sådan komponent till en annan. t hoppar inte, och exponentialfunktionen är en kontinuerlig funktion. Eftersom exponentialkurvorna startar i enhetselementet, så kan vi bara nå den komponent, som innehåller enhetselementet. Dessutom kan vi ha svårigheter att återskapa en del topologiska identiteter hos G med hjälp av exponentialkurvorna.

Men för somliga Lie-grupper med bilineär gruppoperation gäller att

G = {exp(○,X) | X TeG }


Koordinatisering med hjälp av exponentialfunktionen

Därmed har vi också koordinatiserat G med koordinaterna för tangentvektorerna i TeG. Om vi har en bas {bk} och koordinater xk, så kan vi skriva ett gruppelement som:

Φ = exp(○,x1b1+ x2b2+... xnbn)
Men vi kan också bygga upp gruppen med hjälp av gruppoperationen
Φ = exp(○,y1b1) ○ exp(○,y2b2) ○... exp(○,ynbn)
Naturligtvis ger dessa båda metoder olika koordinatvärden för samma gruppelement. De är två olika sätt att koordinatisera en grupp. I den andra formen kan vi dessutom ta baselementen i en annan ordning, och då få ytterligare andra koordinatvärden för samma gruppelement.


Slutenhet under [,]

Vi har påstått att ett vektorrum är slutet under operationen [,], om det är tangentrummet till en lineär grupp. För en sådan kan vi representera gruppelementen med matriser, och gruppoperationen är matrismultiplikation. Vi har visat att kurvor som ΦAt=exp(○,At) är kurvor genom gruppen.ΦBt= exp(○,Bt) är en annan kurva genom gruppen. För varje t är dessa gruppelement. Nu kan vi sammansätta dem på följande sätt:

ΦAt⃞ ΦBt = ΦAt ○ ΦBt ○ ΦA-t ○ ΦB-t
Det här är en fyrkantig resa genom gruppen. Vi gör först framåt i riktningen A och sedan framåt i riktningen B, och sedan tillbaka i riktningen A och sedan tillbaka i riktningen B. Då kommer vi inte tillbaka till utgångspunkten. Men nästan... Vi multiplicerar ihop utvecklingarna av exponentialfunktionerna. Vi kommer att se att första ordningens term försvinner och att vi måste därför intressera oss för andra ordningens term. Därmed måste vi ta med även andra ordningens termer i utvecklingen av varje faktor.
ΦAt⃞ ΦBt =

(e + At +(1/2)A2t2

(e + Bt +(1/2)B2t2

(e - At +(1/2)A2t2

(e - Bt +(1/2)B2t2) =

(e + ABt2 - BAt2) = e + [A,B]t2
sedan ett stort antal termer, både lineära och kvadratiska försvunnit. Genom den sammansatta operationen rör vi oss nu i riktningen [A,B], men det är en ineffektiv process, för vi rör oss bara med tidsskalan t2. Vi kan parametrisera om kurvan med τ=t2 och har då en kurva med tangentvektorn [A,B] och den måste alltså då tillhöra TeG. #

Vi har här byggt upp Lie-klammern med hjälp av en produkt mellan tangentvektorer, som i princip innebär en sammansättning av deriveringar. Här har vi ett rum av matriser, som har tangenvektorer, som också är matriser, och vi har byggt upp Lie-klammern med matrismultiplikation. Det är samma sak, men vi har inte bevisat det, och vi behöver heller inte det resultatet.


Strukturkonstanter

Ovan har vi utnyttjat både Lie-gruppernas gruppegenskaper, och deras mångfaldsegenskaper, nämligen existensen av tangentrum. Vi har också utnyttjat att tangentrummet till en Liegrupp är slutet under operationen [,].

Operationen [,] är en bilineär operation, och då är den helt bestämd av vad den gör med baselementen i tangentrummet. När vi då applicerar [,] på två baselement, så skall vi få en medlem i tangenrummet, enligt slutenheten. Då skall resultatet gå att utveckla i baselementen, och för detta måste det finnas koordinater. Därför måste det finnas en struktur Ckij definierad av

[bi,bj] = ∑k Ckij·bk
C kallas gruppens strukturkonstanter.

Strukturkonstanten bestämmer operationen [,]. Addition och multiplikation med skalär är redan bestämda som komponentvisa operationer. Därmed är alla delar som ingår i beräkningen av funktionen C(A,B) i Campbell-Baker-Hausdorrf's sats bestämda. Därmed är också gruppoperationen bestämd. Två grupper har alltså samma gruppoperationer om de har samma strukturkonstanter. Exponentialfunktionerna bestämmer också (inom sin räckvidd alltså till den komponent, som innhåller enhetselmentet) samma mängd av element i gruppen. Alltså:

Sats: Två Lie-grupper, som har samma strukturkonstanter, är isomorfa.

Dessutom kan det finnas små skillnader mellan strukturkonstanterna i grupperna, utan att isomorfin rubbas. Isomorfi betyder bara att det får finnas en inverterbar funktion mellan element i grupperna, men den funktionen måste inte vara den identiska funktionen.

Isomorfi mellan grupperna betyder att de kan koordinatiseras med varandras koordinater.


Isomorfa Lie-grupper

Redan Euler visade att komplexa tal kunder representeras som matriser (se här), eller rättare sagt, det var så han representerade komplexa tal. Detta etablerar en isomorfism

U(1,C) ~ SO(2,R)
Medlemmarna i U(1,C) består av ett enkelt komplext tal med längden 1. Medlemmarna i SO(2,R) är vridningar av en figur i planet.

Genom att beräkna strukturkonstanter kan vi också visa följande isomorfismer:

SO(3,R) ~ SU(2,C) ~ Sp(1,H)
SO(3,R) är mängden av rotationer av en tredimensionell kropp. Den gruppen kan alltså koordinatiseras med koordinaterna för en 2×2-matris med komplexa tal. Unitariteten tvingar fram en relation mellan de fyra komplexa talen, som gör att den är bestämd av två av dem. Eftersom de båda har både real- och imaginärdel, har vi fyra koordinater. Medlemmarna i SO(3,R) kan också koordinatiseras med de fyra koordinaterna för den enda kvaternionen i Sp(1,H).


Till innehåll