kvaternioner

Kvaternioner

Kvaternionerna upptäcktes av Wiliam Rowan Hamilton, i ett försök att hitta en kropp utöver de reella och komplexa talen. Han lyckades inte men fann att man kunde finna en "nästan-kropp" genom att avstå från kravet att multiplikation skall vara kommutativ. Han blev så exalterad över upptäckten av denna "nästan-kropp", att han lät gravera in en text om saken på en av broarna över Grand Canal i Dublin, där han gjorde upptäckten. Efter honom kallas kvaternionkroppen för H.

En kvaternion är en tupel av 4 tal (en kvadrupel)

q = (q₁, q₂, q₃, q₄),

I analogi med de komplexa talen skrivs q också typografiskt som

q = q₁·1 + q₂·i + q₃·j + q₄·k

Detta kan ses som en utveckling av kvaternionen i 4 baser 1, i, j och k. 1 är det reella talet 1, dvs en kvaternion med bara q₁ ≠ 0, uppträder i alla avseenden som det reella talet q₁. Den första termen i utvecklingen av kvaternionen kallas realdelen. De tre sista termerna kallas imaginärdelarna.

Det finns en addition för kvaternioner. Den görs som komponentvis addition av kvadruplerna. Det finns en multiplikation med reella tal, som görs som en komponentvis multiplikation med det reella talet. Med dessa operationer är H ett vektorrum med R som skalärkropp.

Men multiplikationen med reella tal är bara ett specialfall av en multiplikation mellan kvaternioner. Den är en bilineär operation, och som sådan är den bestämd av hur den avbildar baselementen. Dessa avbildningar framgår av följande tabell

1 i j k

1 1 i j k

i i -1 k -j

j j -k -1 i

k k j -i -1

	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Man ser att denna multiplikation inte är kommutativ, men bortsett från detta uppfyller algebran <H,+,·> alla krav på en kropp.

Liksom för komplexa tal finns en konjugering, som innbär att man byter tecken på samtliga imaginärdelar. Konjugatet av q skriver vi q^C. Det finns också följande regel för konjugatet av en produkt:

(pq)^C=q^Cp^C

Det finns en operation Re(q), som nollställer alla imaginärdelarna i q, och en operation Im(q), som nollställer realdelen.

Det finns också en norm för kvaternioner, som ges av

║q║² = q^Cq = q₁² + q₂² + q₃² + q₄²

Inversen till multiplikation, alltså division går att beräkna på samma sätt som för komplexa tal som:

p/q = (1/║q║²)·pq^C

En skevsymmetrisk operation

Kvaternionmultiplikation är inte symmetrisk (kommutativ), men den är inte skevsymmetrisk (antikommutativ) heller. Men vi kan använda den för att konstruera en skevsymmetrisk operation ∧:

a ∧ b = Im(a^C·b)

Hur denna operation avbildar baselementen framgår av följande tabell:

1 i j k

1 0 i j k

i -i 0 -k j

j -j k 0 -i

k -k -j i 0

	1	i	j	k
1	0	i	j	k
i	-i	0	-k	j
j	-j	k	0	-i
k	-k	-j	i	0

Den här operationen kommer vi att använda som en inre produkt, fastän man brukar använda symmetriska operatoner som inre produkter. Vi söker nu en symmetrigrupp, dvs en grupp, som bevarar någonting, nämligen här värdet av en inre produkten. Vi söker alltså avbildningar L från H till H, som har egenskapen att

Lp ∧ Lq = p ∧ q

Vi antar att den lineära avbildningen kan skrivas som en multiplikation från vänster med en kvaternion α. När vi har en inre produkt, ∧, så vet vi att det skall finnas en adjungerad avbildning, som vi antar att vi också kan skriva som multiplikation från vänster med en kvaternion α^A, som vi kallar den adjungerade kvaternionen. Av den kräver vi då att

αx ∧ y = x ∧ α^Ay.

Vi ersätter ∧ med definitionen, och använder regeln för konjugering av en produkt:

Im((αx)^Cy) = Im(x^Cα^Cy)= Im(x^Cα^Ay)

varav framgår att α^A = α^C, dvs adjungering är komplexkonjugering.

Nu kan vi tillämpa detta på vårt isommetrivillkor

Lp ∧ Lq = αp ∧ αq = p ∧ q

varav

αp ∧ αq = p ∧ α^Aαq = p ∧ α^Cαq = p ∧ q

varav

α^Cα=1

för en identiska avbildningen ges av multiplikation med kvaternionen 1=(1,0,0,0). Annorlunda uttryckt har vi då villkoret på α för att multiplikation skall vara en isometri som

║α║²=1

Kvaternioner med längden 1 ger alltså isometrier om måttet ges av operationen ∧. Vi har inte visat att alla isometrier L kan skrivas på formen Lq = αq, och kommer inte heller att göra det.

Den symplektiska gruppen

En isometri till en skevsymmetrisk inre produkt kallas en symplektisk avbildning. De symplektiska avbildningarna (svarande mot en viss inre produkt) bildar, tillsammans med sammansättning, en symmetrigrupp, som kallas en symplektisk grupp.

En symplektisk grupp består alltså av avbildningar, men här kan avbildningarna realiseras genom multiplikation från vänster med kvaternioner med längden 1, Den här gruppen är alltså isomorf med sådana kvaternioner. Den kan då också koordinatiseras med de fyra koordinaterna för kvaternionen, som vi kallar Bⁱ(α), och är därmed en mångfald. Enhetselementet svarar mot kvaternionen 1. Inversen till avbildningen med kvaternionen α är avbildningen med kvaternionen α^A = α^C.

Gruppen är en av de klassiska Lie-grupperna och heter Sp(1,H), där 1 syftar på att gruppmedlemmarna är 1×1-matriser med element ur H, dvs gruppmedlemmarna är kvaternioner rätt och slätt.

Isomorfi med SO(3,R)

Gruppen Sp(1,H) är nästan isomorf med gruppen SO(3,R) och det betyder att man kan koordinatisera SO(3,R) med kvaternioner. Den koordinatiseringen har fördelar, framför allt i form av lättare beräkningar, och detta är nu kanske den största användningen av kvaternioner.

Tangentrummet T_pSp(s,H)

För att studera isomorfismen mellan Sp(1,H) och SO(3,R), behöver vi först tangentrummet till Sp(1,H). Definitionsmässigt beskriver vi tangenvektorerna med koordinater X(f) för olika funktioner f, och där X(f) ges av:

X(f) = df(γ_t)/dt

Speciellt är vi intresserade av att sätta in f = koordinatfunktionerna x_i = Bⁱ. Vi väljer också att kalla kurvorna γ_t för α_t. Vi kan konstatera att deriveringen och funktionen Bⁱ kommuterar, vilket hänger samman med att derivata definieras som komponentvis derivata. Då har vi:

Xⁱ = X(x_i) = X(Bⁱ) = dBⁱ(α_t)/dt = Bⁱ(dα_t/dt) = Bⁱ(α_t')

Kvaternioner som tillhör gruppen Sp(s,H) har egenskapen:

║α║²=α^Cα = 1

så våra kurvpunkter α_t måste uppfylla detta. Vi kan utnyttja Leibniz' regel för derivering av en produkt. Den fungerar för kvaternionmultiplikation, för den kräver bara att den aktuella multiplikationen är bilineär, och det är kvaternionmultiplikation.

(α_t^Cα_t)'= α_t^C'α_t + α_t^Cα_t' = 0

Nu låter vi α_t vara en kurva, som passerar enhetselementet (kvaternionen 1) och vi kan utan förlust av generalitet göra det vid t=0. Då har vi

α₀^C' + α₀' = 0

Detta satifieras av alla rent imaginära kvaternioner α_t'.En godtycklig tangentvektor kan då skrivas som:

X = α₁·i + α₂·j + α₃·k

Tangentrummet T_eSp(1,H)spänns med andra ord upp av baselementen i, j och k.

Strukturkonstanter

Tangentrummet för en Liegrupp är en Lie-algebra, och en sådan skall vara sluten under operationen Lie-klammern:

[X,Y] = X·Y - Y·X

Operationen · är här en sammansättning av tangentvektorer, men man kan visa att den här sammanfaller med kvaternionmultiplikation. Lie-klammern är en bilineär operation, och därmed bestämd av hur den avbildar baselementen. Eftersom rummet är slutet under Lie-klammern, så måste resultatet av Lie-klammern mellan två baselement, kunna utvecklas med koordinater i baselementen. Detta definierar strukturkonstanten som

C^k_ij=[b_i,b_j]_k

alltså den k:e koordinaten för [b_i,b_j].

Vi har t.ex.

[i,j]=ij-ji = k--k = 2k

Alltså har [i,j] koordinaterna (0,0,2). På detta sätt kan vi göra följande tabell över strukturkonstanterna

k

1 2 3

j j j

i 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 0 0 0 0 0 -2 0 2 0

2 0 0 2 0 0 0 -2 0 0

3 0 -2 0 2 0 0 0 0 0

	k
	1	2	3
	j	j	j
i	1	2	3	1	2	3	1	2	3
1	0	0	0	0	0	-2	0	2	0
2	0	0	2	0	0	0	-2	0	0
3	0	-2	0	2	0	0	0	0	0

Så när som på en betydelelös faktor -2 är detta samma strukturkonstanter som SO(3,R), och därav följer att de är isomorfa, dvs att SO(3,R) kan koordinatiseras med kvaternioner.

Representation av SO(3,R) med kvaternioner

Låt L_q vara en lineär avbildning definierad av

L_q(x) = qx

dvs den avbildning som multiplicerar med kvaternionen q från vänster (left). Om vi betraktar mängden kvaternioner som ett vektorrum (med baserna 1,i,j,k och skalärkroppen R) så kan vi beskriva den lineära avbildningen med en matris. Den ser ut så här:

q₁ -q_i -q_j -q_k

q_i q₁ -q_k q_j

q_j q_k q₁ -q_i

q_k -q_j q_i q₁

och utgör ett alternativt sätt att beskriva kvaternionmultiplikation. Det är rättframt men mödosamt att visa att denna avbildning är ortogonal, om q har längden 1. Samma sak gäller för avbildningen R_q enligt

R_q(x) = xq^C

Vi applicerar nu sammansättningen av båda dessa avbildningar, kallad D_q, på en rent reell kvaternion:

D_q(x) = qxq^C = qq^Cx = ║q║²x = x

Vi kommer från andra till tredje ledet, därför att kvaternionmultiplikation är kommutativ, om en kvaternion är reell. Det betyder att matrisen för D_q måste ha följande form

1

0

0

0

Om D_q på det här sättet bevarar reella kvaternioner så måste dess invers också göra det. Men D_q är ortogonal, eftersom både L_q och R_q är det, och då är inversen = transponaten. Då måste D_q ha följande form:

1 0 0 0

0

0

0

Det betyder att avbildningen D_q isolerar reella och imaginära kvaternioner från varandra. Restriktionen av Im(D_q) till enbart imaginära kvaternioner är därför en avbildning från en vektor med tre komponenter till en annan, och den är fortfarande ortogonal. Den har dessutom determinanten 1. Avbildningen Im(D_q) är därför en medlem i SO(3,R). Vi har en isomorfism:

q → Im(D_q)

som överför kvaternioner med längden 1 till medlemmar i SO(3,R). Den överför också kvaternionmultiplikation på sammansättning för

D_pq(x)=pqx(pq)^C= pqxq^Cp^C=D_p○D_q(x)

Här är matrisen för restriktionen av Im(D_q) till imaginära kvaternioner:

q₁²+ q_i²- q_j²- q_k² 2(q_iq_j+ q₁q_k) 2(q_iq_k- q₁q_j)

2(q_iq_j- q₁q_k) q₁²- q_i²+ q_j²- q_k² 2(q_jq_k+ q₁q_i)

2(q_iq_k+ q₁q_j) 2(q_kq_j- q₁q_i) q₁²- q_i²- q_j²+ q_k²

Det här är bara ett andra ordningens uttryck i kvaternionkoordinaterna, men det är icke desto mindre exakt. Vid andra representationer så förekommer exponentialfunktioner eller trigonometriska funktioner, som måste utvecklas i potensserier med relativt många termer. Detta är en del av förklaringen till varför representationen med kvaternioner är fördelaktig.

Nära enhetselementet, dvs för ett q med realdelen nära 1 och imaginärdelarna nära 0, har vi följande första ordningens approximation:

1 2q_k -2q_j

-2q_k 1 2q_i

2q_j -2q_i 1

Integrationsformler

För SO(3,R) har vi integrationsformeln

dF/dt = Z(ω) F

För ett kort tidsintervall dt har vi då att

F_t+dt = (I+Z(ω)dt)F_t

Matrisen I+Z(ω)dt = I+Z(ωdt) blir

1 ω₃dt -ω₂dt

-ω₃dt 1 ω₁dt

ω₂dt -ω₁dt 1

Men med dt litet kan vi återskapa den matrisen som D_p för kvaterinonen

p = (1, ω₁dt/2, ω₂dt/2, ω₃dt/2)

Integrationsformeln för F = D_q blir då

D_{q_t+dt}=D_pD_{q_t}

Men genom isomorfismen mellan Sp(1,H) och SO(3,R) övergår denna formel i en enkel kvaternionmultiplikation

q_t+dt = pq_t

Sedan kan vi när som helst återskapa F genom uttrycket för D_q

till innehåll

q₁²+ q_i²- q_j²- q_k²	2(q_iq_j+ q₁q_k)	2(q_iq_k- q₁q_j)
2(q_iq_j- q₁q_k)	q₁²- q_i²+ q_j²- q_k²	2(q_jq_k+ q₁q_i)
2(q_iq_k+ q₁q_j)	2(q_kq_j- q₁q_i)	q₁²- q_i²- q_j²+ q_k²