Komplexa tal

De komplexa talen har flera rötter i matematikens historia. En är en algebraisk rot, en annan en aritmetisk och en tredje geometrisk.

Den algebraiska roten

Man fann att de reella talen tillsammans med multiplikation, bildade en aritmetisk struktur, som kallades en kropp. Det var då naturligt att söka efter fler objekt som man kunde bilda kroppar av. Man sökte sig då till tupler av tal, t.ex par av tal. För dessa par måste man då skapa en addition och en multiplikation. Addition kan man göra som komponentvis addition:

(x₁,x₂) + (y₁,y₂) = (x₁+y₁,x₂+y₂)

För multiplikation vore motsvarande

(x₁,x₂) · (y₁,y₂) = (x₁·y₁, x₂·y₂)

Hör skulle man emellertid få resultatet

(0,1)*(1,0) = (0,0)

(0,0) är kroppens nolla, dvs enhetselementet vid addition. Paret (0,1) skulle vara en så kallad nolldelare, dvs ett tal som multiplicerat med ett tal skilt från nollan ger en nolla. Men en kropp får inte innehålla en nolldelare. I själva verket finns det bara en form av multiplikation som är förenlig med kraven för en kropp, och det är denna:

(x₁,x₂) · (y₁,y₂) = (x₁·y₁ - x₂·y₂, x₁·y₂ + x₂·y₁)

Talpar med komponentvis addition och med denna sista regel för multiplikation kallas för komplexa tal. Mängden av de komplexa talen kallas för C, eller det komplexa talplanet. Det är ett talplan försett med operationen multiplikation av par. Addition av par överensstämmer med den sedvanliga vektoriella additionen av punkter.

Konventionellt skrivs paret (x,y) som x+iy. Multiplikationsregeln ovan följer då av specialfallet:

(0,1)·(0,1) = i·i = (-1,0) = -1;

där vi betraktar ett par utan andraelement som ett vanligt reellt tal. Vi betraktar sedan x+iy som en summa av x och y multiplicerat med i. Utvecklar vi då produkten (x+iy)·(z+iu) som en vanlig produkt, får vi fram multiplikationsregeln.

Man har sedan visat att man inte kan hitta några ytterligare kroppar baserade på tupler av tal. Hamilton visade att man kunde åstadkomma ett ytterligare fall, genom att släppa kravet i en kropp att multiplikationen skall vara kommutativ. På så sätt fann han de så kallade kvaternionerna.

Den aritmetiska roten

Den aritmetiska roten handlar om att lösa ekvationer som

x²=-1

Den här ekvationen har ingen rimlig lösning om man tolkar kvadraten som multiplikation av ett reellt tal med sig själv. I sin frånvaro har man kallat lösningen för "roten ur -1", men det är olämpligt, därför att man har anledning att betrakta "roten ur" som en funktion, som alltså skall ges ett entydigt svar. Men "roten ur" tolkad som invers till kvadraten ger alltid två svar, något x och -x. För roten ur ett positivt tal väljer man då det positiva alternativet, och får på så sätt entydighet. Men för "roten ur -1", om det finns ett svar, så finns det två, och det finns ingen möjlighet att skilja dem åt, så att entydighet kan uppnås.

Givet de komplexa talen, så har ekvationen de båda lösningarna

x=±i

Men det här löser inte det ursprungliga problemet, för vi har måst införa en ny typ av tal (komplexa tal) med en ny typ av multiplikation, för att hitta den här lösningen.

Men när vi har infört de komplexa talen med sin speciella multiplikation, så öppnar sig ett mycket starkt resultat, som generaliserar det ovan sagda:

Sats: (Algebrans fundamentalsats) Om p är ett polynom av lägst grad 1, och x är ett komplext tal, så har ekvationen

p(x)=0

minst en lösning. #

Om p är ett n:e gradspolynom, så kan vi nu dividera ut den funna roten, dvs dividera p med (x-r), där r är roten. Då får vi kvar en (n-1)-grads-ekvation, och om n-1 ≥1, så har den nya ekvationen också en rot, osv. Till slut finner vi att en n:e gradsekvation har n rötter, men den här formuleringen är ett sätt att hantera att en del rötter kan sammanfalla (multipelrötter).

Den geometriska roten

Leonhard Euler representerade komplexa tal som matriser på följande sätt. Av det komplexa talet x+iy gjorde han matrisen

x y

-y x

Om man ställer upp två sådana matriser för olika komplexa tal, och sedan multiplicerar dem som matriser, så får man fram matrisrepresentationen av produkten av de två komplexa talen. Eulers representation avbildar alltså komplex multiplikation på matrismultiplikation. Determinanten för matrisen blir det komplexa talets belopp (se nedan). Ett komplext tal med beloppet 1 karakteriseras av att x²+y²=1. Ett sätt att uppfylla detta är att välja x och y som cos(α) och sin(α) för samma vinkel α. Matrisen blir då

cos(α) sin(α)

-sin(α) cos(α)

som representerar en vridning med en vinkel α.

Härnäst skall vi Taylorutveckla exponentialfunktionen med en sådan här matris som oberoende variabel. I Taylorutvecklingen skall vi använda matrismultiplikation som multiplikation.

Matrisen kan vi skriva som en summa av

ζ 0

0 ζ

och

0 α

-α 0

Den första matrisen är diagonal och då blir resultatet av exponentieringen:

e^ζ 0

0 e^ζ

Den andra matrisen är antidiagonal. Dess 0:te potens är naturligtvis en enhetsmatris. Dess första potens är den själv:

0 α

-α 0

Dess andra potens blir en negativ diagonalmatris.

-α² 0

0 -α²

Därmed upprepar sig historien. I tredje potens får vi

0 -α³

α³ 0

I diagonalen får vi jämna potenser av α med alternerande tecken. I antidiagonalen får vi udda potenser av α med alternerande tecken. Vi får udda och jämna alternerande utdrag ur exponentialfunktionens Taylorserie. Dess utdrag ger oss cos(α) och sin(α):

cos(α) sin(α)

-sin(α) cos(α)

Exponentialfunktionen av

ζ α

-α ζ

blir produkten av dessa båda matriser:

e^ζcos(α) e^ζsin(α)

-e^ζsin(α) e^ζcos(α)

Detta är Eulers representation av Eulers formel, som i den numera vanliga representationen skrivs:

e^x+iy=e^x·(cos(y)+i·sin(y))

Andra operationer

Konventionellt kallar vi ett komplext tal (x,y) för z.

Subtraktionen mellan två komplexa tal ges komponentvis

z₁-z₂= (x₁.y₁)-(x₂,y₂)= (x₁-x₂,y₁-y₂)

Komplexkonjugatet z^C = (x,y)^C = (x,-y).

Beloppet av ett komplext tal z=(x,y) är det reella talet ║z║=(x²+y²)^1/2 = (z · z^C)^1/2.

Nu kan vi också teckna kvoten mellan två komplexa tal: z/u = z·u^C/║u║².

Funktioner från C till C

En funktion, f, från C till C kan vi skriva med hjälp av två reellvärda funktioner g och h:

f(z)=(g(x,y),h(x,y))

När vi har tillgång till både subtraktion och division, så kan vi definiera en derivata för hela den komplexa funktionen som ett gränsvärde för differenskvoten:

(g(x+dx,y+dy)-g(x,y),h(x+dx,y+dy)-h(x,y))/(dx,dy)

Det speciella här är att vi har två storheter, dx och dy, som skall gå mot 0, och vi måste kräva att vi får samma gränsvärde oavsett hur vi närmar oss (dx,dy)=(0,0). Det här är ett nummeriskt, kvalitativt krav på f, och inte bara ett reguljaritetskrav som vid derivering av en funktion från R till R (avsaknad av hörn). Det kan föras tillbaka på följande två ekvationer, som g och h måste uppfylla:

Sats: (Cauchy-Riemanns formler) En funktion f(z)=(g(x,y),h(x,y)) är deriverbar om och endast om:

∂g/∂x = ∂h/∂y

∂g/∂y = -∂h/∂x

Av Cauchy-Riemanns formler följer sedan genom Stokes sats att en deriverbar funktion kan utvecklas i en konvergent potensserie. Denna potensserie kan inte vara något annat än Taylorserien, som alltså existerar, varför alla derivator existerar. Därmed måste funktionen alltså tillhöra deriverbarhetsklassen C^ω.

Alltså: alla deriverbara funktioner från C till C är analytiska.

Av potensserieutvecklingssatsen följer också följande:

Sats: (Liouville) Om en analytisk funktion är begränsad över hela C så är den konstant.#

Härav kan man sedan visa Algebrans fundamentalsats (se ovan) genom en reduktion till en motsägelse.

till innehåll